Àlgebra de Lie lineal especial

En matemàtiques, l'àlgebra de Lie lineal especial d'ordre n sobre un camp ${\displaystyle F}$, denotada ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}F}$ o ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$, és l'àlgebra de Lie de totes les matrius ${\displaystyle n\times n}$ (amb entrades en ${\displaystyle F}$ ) amb traça zero i amb el suport de Lie ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ donat pel commutador. Aquesta àlgebra està ben estudiada i s'entén, i sovint s'empra com a model per a l'estudi d'altres àlgebres de Lie. El grup Lie que genera és el grup lineal especial.^[1]

L'àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ és fonamental per a l'estudi de la relativitat especial, la relativitat general i la supersimetria: la seva representació fonamental és l'anomenada representació de l'espinor, mentre que la seva representació adjunta genera el grup de Lorentz SO(3,1) de la relativitat especial.^[2]

L'àlgebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R} }$ juga un paper important en l'estudi del caos i els fractals, ja que genera el grup de Möbius SL(2,R), que descriu els automorfismes del pla hiperbòlic, la superfície de Riemann més simple de curvatura negativa; per contra, SL(2,C) descriu els automorfismes de la bola hiperbòlica 3-dimensional.^[3]

L'àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ és una àlgebra de Lie complexa tridimensional. La seva característica definitòria és que conté una base ${\displaystyle e,h,f}$ satisfer les relacions de commutació ^[4]

${\displaystyle [e,f]=h}$, ${\displaystyle [h,f]=-2f}$, and ${\displaystyle [h,e]=2e}$.

Aquesta és una base de Cartan-Weyl ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$. Té una realització explícita en termes de matrius complexes de 2 per 2 amb traça zero:

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle F={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

Aquesta és la representació fonamental o definitòria ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$.

L'àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ es pot veure com un subespai de la seva àlgebra envoltant universal ${\displaystyle U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )}$ i, en ${\displaystyle U}$, hi ha les següents relacions de commutador mostrades per inducció:

${\displaystyle [h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}}$ ,

${\displaystyle [e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h}$

Cal tenir en compte que, aquí, els poders ${\displaystyle f^{k}}$, etc. es refereixen a les potències com a elements de l'àlgebra U i no a les potències de la matriu. El primer fet bàsic (que es desprèn de les relacions de commutador anteriors) és:

Lema — Sigui V una representació de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ i v una representació en ella. Fent ${\displaystyle v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot v}$ per tot =0,1,... si v és un vector propi per l'acció d'h, és a dir, ${\displaystyle h\cdot v=\lambda v}$ per nombres complexos ${\displaystyle \lambda }$ tal que:

• ${\displaystyle h\cdot v_{j}=(\lambda -2j)v_{j}}$
• ${\displaystyle e\cdot v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot e\cdot v+(\lambda -j+1)v_{j-1}}$
• ${\displaystyle f\cdot v_{j}=(j+1)v_{j+1}}$

D'aquest lema, es dedueix el següent resultat fonamental:

Teorema — Sigui V una representació de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ que pot tenir dimensió infinita i un vector v dins V que és vector ponderat ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\mathbb {C} h+\mathbb {C} e}$(b en subàlgebra Borel), Llavors:

• ${\displaystyle v_{j}}$ no nuls són linealment independents.
• si cap ${\displaystyle v_{j}}$ és nul, llavors els valors propis h de v és un nombre enter no negatiui N>=0 tal que ${\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{N}}$ són no nuls i ${\displaystyle v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$. Àdhuc, el subespai definit per ${\displaystyle v_{j}}$ és ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$.

La primera afirmació és certa des dels dos ${\displaystyle v_{j}}$ és zero o té ${\displaystyle h}$ -valor propi diferent dels valors propis dels altres que són diferents de zero. dient ${\displaystyle v}$ és a ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-pess vector equival a dir que és alhora un vector propi de ${\displaystyle h}$ i ${\displaystyle e}$; un breu càlcul mostra llavors que, en aquest cas, el ${\displaystyle e}$-valor propi de ${\displaystyle v}$ és zero: ${\displaystyle e\cdot v=0}$. Així, per a algun nombre enter ${\displaystyle N\geq 0}$, ${\displaystyle v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$ i en particular, pel lema anterior,

${\displaystyle 0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},}$

Quan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} =\operatorname {\mathfrak {sl}} V}$ per a un espai vectorial complex ${\displaystyle V}$ de dimensió ${\displaystyle n}$, cada representació irreductible de dimensions finites de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es pot trobar com una subrepresentació d'una potència tensor de ${\displaystyle V}$.

L'àlgebra de Lie es pot realitzar explícitament com una matriu àlgebra de Lie sense traça ${\displaystyle n\times n}$ matrius. Aquesta és la representació fonamental per ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$.