Àlgebres CCR i CAR

En matemàtiques i física, les àlgebres CCR (que significa relacions canòniques de commutació) i les àlgebres CAR (relacions canòniques d'anticomutació) sorgeixen de l'estudi de la mecànica quàntica dels bosons i fermions, respectivament. Tenen un paper destacat en la mecànica estadística quàntica ^[1] i la teoria quàntica de camps.^[2]

Deixar ${\displaystyle V}$ ser un espai vectorial real equipat amb una forma bilineal antisimètrica real no singular ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (és a dir, un espai vectorial simplèctic). L' àlgebra * unital generada per elements de ${\displaystyle V}$ subjectes a les relacions ^[3]

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

per ningu ${\displaystyle f,~g}$ en ${\displaystyle V}$ s'anomena àlgebra de relacions de commutació canònica (CCR). La singularitat de les representacions d'aquesta àlgebra quan ${\displaystyle V}$ La seva dimensió finita es discuteix al teorema de Stone–von Neumann.

Si ${\displaystyle V}$ està equipat amb una forma bilineal simètrica real no singular ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ en canvi, l'àlgebra * unital generada pels elements de ${\displaystyle V}$ subjectes a les relacions

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

per ningu ${\displaystyle f,~g}$ en ${\displaystyle V}$ s'anomena àlgebra de relacions d'anticomutació canònica (CAR).

Hi ha un significat diferent, però estretament relacionat, de l'àlgebra CCR, anomenat CCR C*-àlgebra. Sigui ${\displaystyle H}$ un espai vectorial simplèctic real amb forma simplèctica no singular ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. En la teoria de les àlgebres d'operadors, l'àlgebra CCR acaba ${\displaystyle H}$ és l' àlgebra C* unital generada pels elements ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$ agafat a

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Aquestes s'anomenen la forma Weyl de les relacions de commutació canònica i, en particular, impliquen que cadascuna ${\displaystyle W(f)}$ és unitari i ${\displaystyle W(0)=1}$. És ben sabut que l'àlgebra CCR és una àlgebra simple (llevat que la forma simplètica sigui degenerada) no separable i és única fins a l'isomorfisme.^[4]

Quan ${\displaystyle H}$ és un espai de Hilbert complex i ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ve donada per la part imaginària del producte interior, l'àlgebra CCR es representa fidelment a l' espai de Fock simètric sobre ${\displaystyle H}$ mitjançant la configuració

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

per qualsevol ${\displaystyle f,g\in H}$. Els operadors de camp ${\displaystyle B(f)}$ es defineixen per a cadascun ${\displaystyle f\in H}$ com a generador del grup unitari d'un paràmetre ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$ a l'espai simètric de Fock. Aquests són operadors il·limitats autònoms, però formalment compleixen

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Com l'encàrrec ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ és real-lineal, per tant els operadors ${\displaystyle B(f)}$ definir una àlgebra CCR sobre ${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ en el sentit de la Secció 1.

SIgui ${\displaystyle H}$ espai de Hilbert. En la teoria de les àlgebres d'operadors, l'àlgebra CAR és l'única C*-completació de la complexa *-àlgebra unitària generada pels elements ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$ subjectes a les relacions

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

per qualsevol ${\displaystyle f,g\in H}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$. Quan ${\displaystyle H}$ és separable l'àlgebra CAR és una àlgebra AF i en el cas especial ${\displaystyle H}$ és de dimensions infinites, sovint s'escriu com ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$.