Aproximació lineal
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/TangentGraphic2.svg/220px-TangentGraphic2.svg.png)
En matemàtiques, una aproximació lineal és una aproximació d'una funció qualsevol fent servir una funció lineal (de forma més precisa una funció afí).
Definició
Donada una funció derivable f d'una variable real, el teorema de Taylor per a n=1 estableix que
on el terme és el residu o error. L'aproximació lineal s'obté depreciant el residu:
Lo qual és cert per a valors de x propers a a. L'expressió del cantó dret és precisament l'equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt (a, f(a)), i per aquest motiu, d'aquest procés també se'n diu aproximació per la recta tangent.
Les aproximacions lineals per a funcions vectorials de variable vectorial, s'obtenen de la mateixa forma, substituint la derivada en un punt per la matriu jacobiana. Per exemple, donada una funció derivable amb variables reals, es pot aproximar No s'ha pogut entendre (MathML amb SVG o PNG alternatiu (recomanat per a navegadors moderns i eines d'accessibilitat): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/ca.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle f(x, y)} per en punts proper a fent servir la fórmula
L'expressió de la dreta és l'equació del pla tangent a la gràfica de al punt
En el cas més general d'espais de Banach, es té
on és la derivada de Fréchet de a .
Exemples
Per a trobar una aproximació de es pot fer tal com s'explica tot seguit.
- Es planteja la funció Per tant, el problema consisteix a trobar el valor de .
- Es té
- D'acord amb l'aproximació lineal
- El resultat, 2,926, és força proper al valor de la funció 2,924…
Referències
- Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E.. Calculus III. Berlin: Springer-Verlag, 1984, page 775. ISBN 0-387-90985-0.
- Strang, Gilbert. Calculus. Wellesley College, 1991, page 94. ISBN 0-9614088-2-0.
- Bock, David; Hockett, Shirley O.. How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005, page 118. ISBN 0-7641-2382-3.