Classe Schur

En matemàtiques, la classe Schur consisteix en les funcions de Schur: les funcions holomorfes des del disc unitat obert al disc unitat tancat. Aquestes funcions van ser estudiades per Issai Schur.[1]

Els paràmetres de Schur γj d'una funció de Schur f0 es defineixen recursivament com

γ j = f j ( 0 ) {\displaystyle \gamma _{j}=f_{j}(0)}
z f j + 1 = f j ( z ) − γ j 1 − γ j ¯ f j ( z ) . {\displaystyle zf_{j+1}={\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}}.}

Tots els paràmetres de Schur γj tenen valor absolut com a màxim 1.

Això dona una expansió de fracció contínua de la funció de Schur f0 utilitzant repetidament el fet que

f j ( z ) = γ j + 1 − | γ j | 2 γ j ¯ + 1 z f j + 1 ( z ) {\displaystyle f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}}+{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}}

que dona

f 0 ( z ) = γ 0 + 1 − | γ 0 | 2 γ 0 ¯ + 1 z γ 1 + z ( 1 − | γ 1 | 2 ) γ 1 ¯ + 1 z γ 2 + ⋯ . {\displaystyle f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}}+{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}.}

Referències

  1. ↑ Schur, 1918, p. 205-232.

Bibliografia

  • Schur, I. «Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind. I, II» (en alemany). J. Reine Angew. Math.. Walter de Gruyter [Berlin], 147, 1918. DOI: 10.1515/crll.1917.147.205.
  • Simon, Barry. Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 1. Classical theory (en anglès). 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005 (American Mathematical Society Colloquium Publications). ISBN 978-0-8218-3446-6. 
  • Simon, Barry. Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 2. Spectral theory (en anglès). 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005 (American Mathematical Society Colloquium Publications). ISBN 978-0-8218-3446-6. 

Vegeu també