Constant Omega

En matemàtiques, la constant Omega, anotada Ω, és una constant definida per:

${\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1}$

Aquí Ω és un cas particular de la funció W de Lambert. El nom de la constant prové del nom alternatiu de la funció W de Lambert, la funció omega. No l'hem de confondre amb la constant Omega de Chaitin, definida en la teoria algorítmica de la informació.

La constant prové de la funció W de Lambert, que rep aquest nom en honor del matemàtic alsacià Johann Heinrich Lambert. Té la forma següent:

${\displaystyle z=we^{w}\;\Longleftrightarrow \;w=W(z).}$

${\displaystyle z}$ és un nombre complex, expressat en notació polar de nombres complexos, i la funció ve definida per ${\displaystyle W(z)=w}$, complint-se, doncs, la igualtat

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.}$

La constant omega és el cas particular de la funció W de Lambert quan ${\displaystyle \Omega =W_{0}(1)\,}$. L'expressió resultant és la coneguda: ${\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1}$

El valor aproximat d'Ω és:

${\displaystyle \Omega \approx 0,5671432904...}$ ^[1]

Les següents expressions també validen el valor d'Ω:^[2]

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$

${\displaystyle \ln \Omega =-\Omega .\,}$

${\displaystyle \Omega =\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)}$

Es pot calcular el valor d'Ω seguint un mètode iteratiu partint d'un Ω₀ i obtenint cada element de la seqüència executant:

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,}$

La seqüència tendirà al valor d'Ω a mesura que n tendeixi a ∞. Això passa ja que Ω és un punt fix de la funció ${\displaystyle e^{-x}}$

S'obtindrà la constant de manera molt més eficient mitjançant la seqüència:^[3]

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

ja que la funció:

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

té el mateix punt fix però té també la derivada igual a 0 en aquest punt fent que la convergència sigui quadràtica (el nombre nous dígits correctes és aproximadament duplicat per cada iteració.

Una identitat curiosa, atribuïda a Victor Adamchik, és la donada per la relació:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1.}$

Integral que també es pot expressar de la següent manera:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

La constant ${\displaystyle \Omega }$ és un nombre irracional. Mitjançant la reducció a l'absurd es parteix de la base que el nombre ${\displaystyle e}$ és un nombre transcendent (demostrat per Charles Hermite el 1873).

Suposant que ${\displaystyle \Omega }$ és un nombre racional, llavors existeixen ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ nombres naturals primers entre ells tals que:

${\displaystyle \Omega ={\frac {p}{q}}}$

llavors: ${\displaystyle 1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}}$

i finalment: ${\displaystyle e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$

fet que convertiria el nombre ${\displaystyle e}$ en un nombre algebraic d'ordre ${\displaystyle p}$, contradient la premissa que ${\displaystyle e}$ és un nombre transcendent (no algebraic).

A més de ser un nombre irracional, la constant Omega és també un nombre transcendent, segons es pot demostrar mitjançant el teorema de Lindemann-Weierstrass. Aquest teorema, juntament amb el de Gelfond-Schneider, constitueix la conjectura de Schanuel, i serveix per determinar si un nombre és transcendent o no. En particular, diu el següent:

Suposem ${\displaystyle \alpha }$, un nombre algebraic no nul, llavors {${\displaystyle \alpha }$} és un conjunt linealment independent sobre els racionals. {${\displaystyle e^{\alpha }}$} en serà un conjunt algebraicament independent, o en altres paraules, el nombre ${\displaystyle e^{\alpha }}$ serà transcendent.

Aplicat a la constant Omega, es suposa que ${\displaystyle \Omega }$ és un nombre algebraic i es parteix de la identitat:

${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}$

Llavors, si ${\displaystyle \Omega }$ és un nombre algebraic, ${\displaystyle (-\Omega )}$ també ho serà, i per tant, ${\displaystyle e^{-\Omega }}$ serà, per força, un nombre transcendent, contradient la identitat inicial. Per tant, ${\displaystyle \Omega }$ ha de ser per força un nombre transcendent, sent ${\displaystyle e^{-\Omega }}$ també un nombre transcendent.

• Weisstein, Eric W., «Omega Constant» a MathWorld (en anglès).