En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e
![{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2019b8b95ec12a0b8cdc76c92583bc574d37a863)
pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.[1]
Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre
![{\displaystyle x:=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cf5d2806d2fc39686d9d4204aeebbd2f335e1d)
Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que
i que
és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".
- Per a veure que x és un nombre enter, notem que
| |
- Ara, per a tot n tal que
, hom veu que
és divisible per a
, ja que
és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que
també,
, és a dir, x és un nombre enter.
- Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que
car
- Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.
Quod erat demonstrandum
Referències
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Demostració que e és irracional
- ↑ «Demostración "elemental" de que el número e es irracional» (en castellà), 17-09-2012. [Consulta: 23 juny 2019].