En anàlisi matemàtica, la desigualtat de Minkowski estableix que els espais Lp són espais vectorials amb una norma. Sia S un espai mesurable, sia 1 ≤ p ≤ ∞ i siguin f i g elements de Lp(S). Llavors f + g és de Lp(S), i es té
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
amb la igualtat pel cas 1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment dependents (la qual cosa vol dir que f =
g o g =
f per alguna
≥ 0).
La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en Lp(S).
Igual com la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectors a base de fer:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
per a tots els nombres reals (o complexos) x1, ..., xn, y1, ..., yn i on n és el cardinal de S (el nombre d'elements de S).
Demostració
Primer es demostra que f+g té una p-norma finita so f i g totes dues la tenen, això se segueix de
![{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9814cab483c48d81283bb8f898c113bbadb5043c)
En efecte, aquí es fa servir el fet que
és una funció convexa sobre
(per a
més gran que 1) i per tant, si a i b són tots dos positius llavors
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846b23bf28f35cd469afa0f634ad3edecd7e60d1)
Això vol dir que
![{\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07942fb6796c5af625aed609049949e2a1a1652a)
Ara, es pot parlar legítimament de
. Si és zero, Llavors es compleix la desigualtat de Minkowski. Ara, suposant que
no és zero. Fent servir la desigualtat de Hölder
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d7c48d18c9d59b7919983c2c9e8a41e910412)
![{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263db0a83f10b2bc91041d0b766ae3e1c1fddd2e)
![{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1160ac979b6765a2c7ad2e92db447e05b8bec2dc)
![{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142f483bdab7070888ff1b112a8b4fd0b9b22c5f)
![{\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c975f9e72f091e6aaa8153d01a556ebd3f4dde48)
S'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant els cos cantons per
.
Referències
- Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities. 1952a ed.. Cambridge: Cambridge University Press, 1988, p. xii+324 (Cambridge Mathematical Library). ISBN 0-521-35880-9.
- H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
- M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104