Distribució Nakagami

Distribució Nakagami

Funció de distribució de probabilitat

La distribució Nakagami o la distribució Nakagami-m és una distribució de probabilitat relacionada amb la distribució gamma. La família de distribucions de Nakagami té dos paràmetres: un paràmetre de forma ${\displaystyle m\geq 1/2}$ i un segon paràmetre que controla la propagació ${\displaystyle \Omega >0}$.^[1]

La seva funció de densitat de probabilitat (pdf) és ^[2]

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right),\forall x\geq 0.}$

on ${\displaystyle (m\geq 1/2,{\text{ and }}\Omega >0)}$

La seva funció de distribució acumulada és ^[3]

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

on P és la funció gamma incompleta regularitzada (inferior).

La distribució Nakagami està relacionada amb la distribució gamma. En particular, donada una variable aleatòria ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$, és possible obtenir una variable aleatòria ${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(m,\Omega )}$, mitjançant la configuració ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle \theta =\Omega /m}$, i prenent l'arrel quadrada de ${\displaystyle Y}$ : ^[4]

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}.\,}$

Alternativament, la distribució Nakagami ${\displaystyle f(y;\,m,\Omega )}$ es pot generar a partir de la distribució de chi amb el paràmetre ${\displaystyle k}$ ajustat a ${\displaystyle 2m}$ i després després d'una transformació d'escala de variables aleatòries. És a dir, una variable aleatòria de Nakagami ${\displaystyle X}$ es genera mitjançant una transformació d'escala simple en una variable aleatòria distribuïda per Chi ${\displaystyle Y\sim \chi (2m)}$ com a continuació.

${\displaystyle X={\sqrt {(\Omega /2m)Y}}.}$

For a Chi-distribution, the degrees of freedom ${\displaystyle 2m}$ must be an integer, but for Nakagami the ${\displaystyle m}$ can be any real number greater than 1/2. This is the critical difference and accordingly, Nakagami-m is viewed as a generalization of Chi-distribution, similar to a gamma distribution being considered as a generalization of Chi-squared distributions.