Distribucions de Mittag-Leffler

Distribucions de Mittag-Leffler

Tipus	distribució univariant
Epònim	Gösta Mittag-Leffler

Les distribucions de Mittag-Leffler són dues famílies de distribucions de probabilitat a la mitja línia ${\displaystyle [0,\infty )}$. Estan parametritzats per un real ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ o ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ . Tots dos es defineixen amb la funció Mittag-Leffler, que porta el nom de Gösta Mittag-Leffler.^[1]

Per a qualsevol complex ${\displaystyle \alpha }$ la part real del qual és positiva, la sèrie^[2]

${\displaystyle E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}}$

defineix una funció sencera. Per ${\displaystyle \alpha =0}$, la sèrie convergeix només en un disc de radi 1, però analíticament es pot estendre a ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$.

La primera família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions de distribució acumulada.

Per a tot ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, la funció ${\displaystyle E_{\alpha }}$ està augmentant en la línia real, convergeix a ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle -\infty }$, i ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$. Per tant, la funció ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ és la funció de distribució acumulada d'una mesura de probabilitat sobre els nombres reals no negatius. La distribució així definida, i qualsevol dels seus múltiples, s'anomena distribució d'ordre de Mittag-Leffler ${\displaystyle \alpha }$.

Totes aquestes distribucions de probabilitat són absolutament contínues. Des que ${\displaystyle E_{1}}$ és la funció exponencial, la distribució de l'ordre de Mittag-Leffler ${\displaystyle 1}$ és una distribució exponencial. Tanmateix, per ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, les distribucions de Mittag-Leffler són de cua pesada. La seva transformada de Laplace ve donada per:

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

que implica que, per ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, l'expectativa és infinita. A més, aquestes distribucions són distribucions geomètriques estables. Els procediments d'estimació de paràmetres es poden trobar aquí.^[3][4]

La segona família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions generadores de moments.

Per a tot ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, una variable aleatòria ${\displaystyle X_{\alpha }}$ es diu que segueix una distribució d'ordre de Mittag-Leffler ${\displaystyle \alpha }$ si, per alguna constant ${\displaystyle C>0}$,

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),}$

on la convergència és per a tots ${\displaystyle z}$ en el pla complex si ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, i tot ${\displaystyle z}$ en un disc de radi ${\displaystyle 1/C}$ si ${\displaystyle \alpha =0}$.