Un element algebraic sobre un cert cos matemàtic és un element d'un conjunt que conté a aquest cos matemàtic i que construïble a partir de certes operacions algebraiques relacionades amb els polinomis sobre el cos original.
Introducció
La Teoria de Cossos és una branca de la Teoria d'Anells, que al seu torn és una branca de l'Àlgebra Abstracta. Un dels principals camps d'estudi de la Teoria de Cossos és el de decidir si un polinomi els coeficients del qual estan en el cos té les seues arrels en el cos (és a dir, si al resoldre l'equació polinòmica, les solucions pertanyen o no al cos).
Quan un cos està inclòs en altre cos pot ocórrer que els elements del gran siguen arrels de polinomis amb coeficients en el menut -en aquest cas es diu que els elements són algebraics- o que haja elements que no són arrels de cap d'eixos polinomis. En aquest últim cas es diu que aquests elements són transcendents.
Construcció
(La següent informació és de caràcter tècnic, i pot resultar àrdua i incomprensible per al no iniciat en l'àlgebra abstracta, però és essencial per a comprendre el desenvolupament d'aquesta branca de la matemàtica. Per desgràcia no pot exposar-se d'una manera més plana sense perdre rigor, el que faria que deixara de ser útil.)
Siguen dos cossos
i
de forma que
és extensió de
. Siga
. Si
, llavors
és arrel del polinomi
, que és irreduible en
(tot polinomi de grau 1 es irreduible en qualsevol anell de polinomis). Si
, llavors realitzem la següent construcció:
- Construïm el conjunt
. Este conjunt és un cos, és extensió de
, és subcos de
, i de fet és la menor extensió de
que conté a
. Se li denomina extensió generada per
sobre
.
- Construïm l'aplicació
que a cada polinomi
li fa correspondre la seua avaluació en
, i.e.,
. Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina aplicació avaluació.
Ara només poden donar-se dues situacions:
- Ker
. En este cas es diu que
és element transcendent sobre
.
. Com
és un anell principal i el nucli d'un homomorfisme d'anells és un ideal de l'anell de partida de l'homomorfisme, llavors
(açò és, l'ideal generat per
) per algun
. Per el primer teorema d'isomorfia,
, on
és el monomorfisme inclusió canònica (p. ex.,
qualsevol que siga el
),
és el homomorfisme sobrejectiu aplicació projecció canònica (a cada
li assigna la seua classe
en el quocient
), i
és un isomorfisme d'anells unitaris.
- Com
és sobrejectiva (ja que és isomorfisme),
.
(primer teorema d'isomorfia), que és subanell de
, el qual al seu torn és un cos, després
és íntegre per mancar de divisors de zero no nuls, amb el que també
és íntegre.
- Però si
és íntegre serà
ideal primer en
. Sabem que
(per hipòtesi), després
. A més, si fóra
(també per hipòtesi). Amb el qual tenim garantit que
és un polinomi irreduible en
(per ser principal). A més, com
és principal, tot ideal primer és maximal, amb el qual
és ideal maximal de
, després
és un cos. Així
és un subcos de
. Com
, si
serà
, amb el qual se demostra que
és un subcos de
.
- Per altre costat,
, amb el qual
. Així,
és un subcos de
que conté a
i a
. Com
és la menor extensió de
que conté a
arribem a la conclusió que
.
En esta segona situació (
, o equivalentment, existeix algun
irreduible amb
) se diu que
és algebraic sobre
.
Un element és algebraic sobre un cos si i sols si és l'arrel d'algun polinomi a coeficients en dit cos.
Polinomi mònic irreduible
Si
és un element algebraic sobre el cos
de manera que
, el polinomi
que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e.,
) és irreduible. Dividint
pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potència de la variable
) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal és la unitat), que se denota per
i se denomina polinomi mònic irreduible de
respecte de
.
Clarament,
.
Vegeu també