Funció Crystal Ball

La funció Crystal Ball (funció "Bola de Cristall") és una funció de densitat de probabilitat generalment utilitzada per a modelitzar ressonàncies de partícules en física d'altes energies. Rep el seu nom de la col·laboració experimental Crystal Ball que la va emprar per primer cop.^[1] La funció està composta d'una part central Gaussiana i d'una cua esquerra de tipus llei de potència, a partir d'un llindar determinat. La funció i la seva primera derivada són continues.

La funció Crystal Ball ve donada per l'expressió:^[2]

${\displaystyle f(x;\alpha ,n,{\bar {x}},\sigma )=N\cdot {\begin{cases}\exp(-{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}),&{\mbox{for }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}>-\alpha \\A\cdot (B-{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }})^{-n},&{\mbox{for }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}\leqslant -\alpha \end{cases}}}$

On

${\displaystyle A=\left({\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\right)^{n}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle B={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}-\left|\alpha \right|}$,

${\displaystyle N={\frac {1}{\sigma (C+D)}}}$,

${\displaystyle C={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle D={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {\left|\alpha \right|}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$.

La constant ${\displaystyle N}$ és un factor de normalització i ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ i ${\displaystyle \sigma }$ són paràmetres lliures a determinar a partir de les dades.^[3] erf és la funció error.

• Funció de Cruijff