Funció d'error
Funció d'error | |
---|---|
![]() Gràfic de la funció d'error | |
Informació general | |
Definició general | |
Camps d'aplicació | Probabilitat, termodinàmica |
Domini, codomini i imatge | |
Domini | |
Imatge | |
Característiques bàsiques | |
Paritat | Senar |
Característiques específiques | |
Arrel | 0 |
Derivada | |
Primitiva | |
Definició amb sèries | |
Sèrie de Taylor |
En matemàtiques, la funció d'error (també anomenada funció d'error de Gauss), sovint denotada per erf, és una funció complexa d'una variable complexa definida com: [1]
Aquesta integral és una funció sigmoide especial (no elemental) que apareix sovint en equacions de probabilitat, estadístiques i en derivades parcials. En moltes d'aquestes aplicacions, l'argument de la funció és un nombre real. Si l'argument de la funció és real, llavors el valor de la funció també és real.[2]
En estadística, per a valors no negatius de x, la funció d'error té la següent interpretació: per a una variable aleatòria Y que té una distribució normal amb una mitjana μ igual a 0 i una desviació estàndard σ igual a , erf(x) és la probabilitat que Y caigui en el rang [−x, x].
- Gràfic de la funció d'error Erf(z) en el pla complex de -2-2i a 2+2i amb colors creats amb la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.
Dues funcions estretament relacionades són la funció d'error complementària (erfc) definida com
i la funció d'error imaginari (erfi) definida com
on i és la unitat imaginària.[3]
El nom "funció d'error" i la seva abreviatura erf van ser proposats per JWL Glaisher l'any 1871 a causa de la seva connexió amb "la teoria de la probabilitat, i sobretot la teoria dels errors".[4] El complement de la funció d'error també va ser discutit per Glaisher en una publicació separada el mateix any.[5] Per a la "llei de la facilitat" dels errors la densitat dels quals ve donada per
Aplicacions
Quan els resultats d'una sèrie de mesures es descriuen mitjançant una distribució normal amb desviació estàndard σ i valor esperat 0, llavors és la probabilitat que l'error d'una sola mesura estigui entre −a i +a, per a a positiva. Això és útil, per exemple, per determinar la taxa d'error de bits d'un sistema de comunicació digital.
Referències
- ↑ Andrews, Larry C. Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press, 1998, p. 110. ISBN 9780819426161.
- ↑ «Error functions» (en anglès). http://nlpc.stanford.edu. Arxivat de l'original el 2019-11-01. [Consulta: 6 gener 2023].
- ↑ Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Dover. Handbook of Mathematical Functions, 1972, p. 295-309.
- ↑ Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, juliol 1871, pàg. 294–302. DOI: 10.1080/14786447108640568 [Consulta: 6 desembre 2017].
- ↑ Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, setembre 1871, pàg. 421–436. DOI: 10.1080/14786447108640600 [Consulta: 6 desembre 2017].