Funció zeta de Lefschetz

En matemàtiques, la funció zeta de Lefschetz és una eina utilitzada en topologia periòdica, en la teoria del punt fix, i en sistemes dinàmics.

Donat un mapatge ${\displaystyle f}$, la funció zeta de Lefschetz es defineix per la sèrie

${\displaystyle \zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {z^{n}}{n}}\right),}$

on ${\displaystyle L(f^{n})}$ és el nombre de Lefschetz de la ${\displaystyle n}$-iterada de ${\displaystyle f}$.

Aquesta funció zeta és important en la teoria topològica periòdica perquè és un invariant singular conté informació sobre totes les iterades de ${\displaystyle f}$.

El mapa d'identitat en ${\displaystyle X}$ posseeix la següent funció zeta de Lefschetz:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},}$

on ${\displaystyle \chi (X)}$ és la característica d'Euler de ${\displaystyle X}$, és a dir, el nombre de Lefschetz del mapa d'identitat.

Un exemple menys trivial és el següent. Si es considera com a espai el cercle unitari (${\displaystyle X=S^{1}}$) i sigui ${\displaystyle f}$ la seva reflexió en l'eix ${\displaystyle x}$, o expressat d'una altra manera ${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$, llavors ${\displaystyle f}$ posseeix un nombre de Lefschetz igual a ${\displaystyle 2}$, i ${\displaystyle f^{2}}$ és el mapa d'identitat, que té per nombre de Lefschetz el ${\displaystyle 0}$. Totes les iterades senars posseeixen un nombre de Lefschetz igual a ${\displaystyle 2}$, i totes les iterades parelles posseeixen un nombre de Lefschetz igual a ${\displaystyle 0}$. Per tant la funció zeta de ${\displaystyle f}$ és

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle f}$ és un mapa continu en una varietat compacta ${\displaystyle X}$ de dimensió ${\displaystyle n}$ (o en forma més general tot poliedre compacte), la funció zeta Lefschetz queda expressada per la fórmula

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.}$

La qual és una funció racional. Els polinomis del numerador i del denominador són essencialment els polinomis característics del mapa induït per ${\displaystyle f}$ en els diversos espais homòlegs.

Aquesta funció generatriu és essencialment una forma algebraica de la funció zeta d'Artin-Mazur, la qual proveeix informació geomètrica sobre els punts fixos i periòdics de ${\displaystyle f}$.

• Fel'shtyn, Alexander. Dynamical Zeta-Functions, Nielsen Theory and Reidemeister Torsion (en anglès), 1996.  arXiv: chao-dyn/9603017

• Funció zeta d'Artin-Mazur
• Solomon Lefschetz
• Teorema del punt fix de Lefschetz