Hipopede de Booth

En geometria, una hipopede de Booth (del grec ἱπποπέδη grills pels peus dels caballs)és una corba plana determinada per una equació de la forma

( x 2 + y 2 ) 2 = c x 2 + d y 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2}} ,

on se suposa que c >0 i c >d donat que els casos restants o bé es redueixen a un únic punt o bé es poden posar de la forma donada amb una rotació. Les hipopedes de Booth són corbes algebraiques racionals bicirculars de grau 4 i són simètriques respecte d'ambdós eixos x e y. Quan d>0 la corba té una forma ovalada i sovint es coneix com un oval de Booth, i quan d<0 que la corba s'assembla a un vuit girat, o a lemniscata, i es coneix sovint com una lemniscata de Booth, en honor de James Booth (1806-1878) qui les va estudiar. Les hipopedes també varen ser estudiades per Procle (pel que s'anomenen a vegades Hipoede de Proclus) i Èudox de Cnidos. Per d = −c, l'hipopede correspon a la Lemniscata de bernoulli.

Definició com seccions d'un torus

hipopedes amb a = 1, b = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, i 2.0.
hipopedes amb b = 1, a = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, i 2.0.

Els hipopedes es poden definir com la corba formada per la intersecció d'un torus i un pla, on el pla és paral·lel a l'eix del torus i tangent a ell en el circumferència interior. Per tant és una secció spirica de Perseu que és un tipus de secció tòrica.

Si una circumferència amb radi a es girat entorn d'un eix a distància b del seu centre, llavors l'equació de l'hippopede que en resulta en coordenades polars és

r 2 = 4 b ( a − b sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\theta )\,}

o en Coordenades cartesianes

( x 2 + y 2 ) 2 + 4 b ( b − a ) ( x 2 + y 2 ) = 4 b 2 x 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}\,} .

Fixeu-vos que quan a >b el torus es talla a si mateix, per tant no s'assembla a la imatge habitual d'un torus.

Vegeu també

  • Llista de corbes

Referències

  • Lawrence JD. (1972) Catalog of Special Plane Curves, Dover. Pp. 145–146.
  • Booth J. A Treatise on Some New Geometrical Methods, Longmans, Green, Reader, and Dyer, London, Vol. I (1873) and Vol. II (1877).
  • Weisstein, Eric W., «Hippopede» a MathWorld (en anglès).
  • "Hippopede" a 2dcurves.com
  • "Courbes de Booth" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Enllaços externs

  • "The Hippopede of Proclus" a The National Curve Bank