Integral de Volkenborn

En matemàtiques, en el camp de l'anàlisi p-àdic, la integral de Volkenborn és un mètode d'integració de funcions p-àdiques.

Aquesta integral va ser definida pel matemàtic alemany Arnt Volkenborn en la seva dissertació a la Universitat de Colònia el 1971.[1][2]

Definició

Sigui f : Z p → C p {\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}} una funció dels enters p-àdics que prenen valors en els nombres p-àdics. La integral de Volkenborn es defineix pel límit, si existeix:

∫ Z p f ( x ) d x = lim n → ∞ 1 p n ∑ x = 0 p n − 1 f ( x ) . {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}

Més en general, si

R n = { x = ∑ i = r n − 1 b i x i | b i = 0 , … , p − 1  per a  r < n } {\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ per a }}r<n\right\}}

llavors

∫ K f ( x ) d x = lim n → ∞ 1 p n ∑ x ∈ R n ∩ K f ( x ) . {\displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}

Exemples

∫ Z p 1 d x = 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}
∫ Z p x d x = − 1 2 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}
∫ Z p x 2 d x = 1 6 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}
∫ Z p x k d x = B k {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}

on B k {\displaystyle B_{k}} és el k-èssim nombre de Bernoulli.

Els quatre exemples anteriors es poden comprovar fàcilment mitjançant l'ús directe de la definició i la fórmula de Faulhaber.

∫ Z p ( x k ) d x = ( − 1 ) k k + 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}
∫ Z p ( 1 + a ) x d x = log ⁡ ( 1 + a ) a {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}
∫ Z p e a x d x = a e a − 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}

Els dos últims exemples es poden comprovar formalment expandint la sèrie de Taylor i integrant el terme.

∫ Z p log p ⁡ ( x + u ) d u = ψ p ( x ) {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}

amb la funció logarítmica p-àdica log p {\displaystyle \log _{p}} i la funció digamma p-àdica ψ p {\displaystyle \psi _{p}}

Propietats

∫ Z p f ( x + m ) d x = ∫ Z p f ( x ) d x + ∑ x = 0 m − 1 f ′ ( x ) {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)}

A partir d'aquí es dedueix que la integral de Volkenborn no és invariant per la translació.

Si P t = p t Z p {\displaystyle P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}} llavors

∫ P t f ( x ) d x = 1 p t ∫ Z p f ( p t x ) d x {\displaystyle \int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x}

Referències

  1. ↑ Arnt Volkenborn: p-adisches Integral und seine Anwendungen I[Enllaç no actiu]. en: Manuscripta Mathematica. vol. 7(4), 1972
  2. ↑ Arnt Volkenborn: p-adisches Integral und seine Anwendungen II[Enllaç no actiu]. en: Manuscripta Mathematica. vol. 12(1), 1974

Bibliografia

  • Kim, Min-Soo; Son, Jin-Woo «Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers». Bulletin of the Korean Mathematical Society, 44(1), 2007, pàg. 1-12. ISSN: 1015-8634.
  • Robert, Alain M. A Course on p-adic Analysis (=Graduate Texts in Mathematics. vol. 198) (en anglès). Nova York: Springer, 2000, p. 263-279. ISBN 0-387-98669-3.