Nombre harmònic

El nombre harmònic H n , 1 {\displaystyle H_{n,1}} amb n = ⌊ x ⌋ {\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor } (línia vermella) amb el seu límit asimptòtic γ + ln ⁡ [ x ] {\displaystyle \gamma +\ln[x]} (línia blava).

En matemàtiques, l'n-èsim nombre harmònic és la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals:

H n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n . {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}

Això és el mateix que n vegades l'invers de la mitjana harmònica d'aquests nombres naturals.

Els nombres harmònics s'han estudiat des de l'antiguitat i són importants en moltes branques de la teoria de nombres. A vegades s'anomenen vagament com sèrie harmònica. A més, estan estretament relacionats amb la funció zeta de Riemann i apareixen en l'expression d'algunes funcions especials.

Representació

La primera representació, en forma integral, la va donar Leonhard Euler:

H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx}

Veiem que:

H n + 1 = ∫ 0 1 1 − x n + 1 1 − x d x = ∫ 0 1 ( x n + 1 − x n 1 − x ) d x = ∫ 0 1 x n d x + ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n+1}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}dx=\int _{0}^{1}(x^{n}+{\frac {1-x^{n}}{1-x}})dx=\int _{0}^{1}x^{n}dx+\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx}

En resum

H n + 1 = H n + 1 n + 1 {\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}}

La qual cosa ja era evident per la definició en els nombres naturals.