Pinta de Dirac

En matemàtiques, la pinta de Dirac (també anomenada tren d'impulsos o funció de mostratge en electrotècnia) és una distribució temperada periòdica^[1] construïda a partir de deltes de Dirac^[2]

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)={\frac {1}{T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

per un període donat T. El símbol ${\textstyle \operatorname {III} (t)}$ representa la pinta de Dirac de període unitat.^[1] Alguns autors, en particular Bracewell, així com autors de llibres d'enginyeria elèctrica i teoria de circuits també s'hi refereixen com a funció Shah^[2] (possiblement per la seva grafia, molt similar a la lletra ciríl·lica xa majúscula Ш). Pel fet de ser periòdica es pot expressar com a sèrie de Fourier:

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}}.}$

La propietat del canvi d'escala s'obté directament de les propietats de la delta de Dirac.^[3] Amb ${\textstyle \delta (t)={\frac {1}{|a|}}\delta \left({\frac {t}{a}}\right)}$ per a qualsevol nombre ${\textstyle a}$ diferent de zero, s'obté:

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{T}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {III} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{|a|T}}\operatorname {III} \left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {III} _{T}\left({\frac {t}{a}}\right).}$

Cal notar que el signe de ${\displaystyle a}$ no altera el resultat.

És evident que ${\displaystyle \ \operatorname {III} _{T}(t)}$ és periòdica amb període ${\displaystyle T}$. Això significa que

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t+T)=\operatorname {III} _{T}(t)}$

per a tot t.

La seva sèrie de Fourier complexa és

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}},}$

on els coeficients de Fourier ${\displaystyle c_{k}}$ són

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {III} _{T}(t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {III} _{T}(t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi k{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi k{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$

Tot els coeficients de Fourier són 1/T, per tant la sèrie de Fourier resultant és

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k{\frac {t}{T}}}.}$

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

${\displaystyle \operatorname {III} (t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi kt}.}$

La seva sèrie de Fourier trigonomètrica és

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geq 1}a_{k}cos({\frac {2\pi k}{T}}t)+b_{k}sin({\frac {2\pi k}{T}}t),}$

on els coeficients de Fourier ${\displaystyle a_{k}}$ i ${\displaystyle b_{k}}$ obtinguts directament a partir dels coeficients ${\displaystyle c_{k}}$ són

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {2}{T}}\\b_{k}&=0.\end{aligned}}}$

Per tant la sèrie de Fourier resultant és

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}+{\frac {2}{T}}\sum _{k\geq 1}cos({\frac {2\pi k}{T}}t).}$

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

${\displaystyle \operatorname {III} (t)=1+2\sum _{k\geq 1}cos(2\pi kt).}$

La transformada de Fourier d'una pinta de Dirac és una pinta de Dirac^[2] (propietat que comparteix amb la funció gaussiana de variància 1). Així doncs, la pinta de Dirac expressada en el domini freqüencial es pot escriure com:

${\displaystyle \operatorname {III} _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\operatorname {III} _{1 \over T}\left(f\right)={1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi fkT}.}$

A més, quan el període és unitari la transformada de Fourier de la pinta de Dirac és directament ella mateixa

${\displaystyle \operatorname {III} (t)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {III} \left(f\right).}$

• Convolució
• Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon