Principi de màxim de Hopf
Equacions diferencials |
---|
Història de les equacions diferencials Cronologia de les equacions diferencials |
Àmbits Ciències Naturals · Enginyeria Astronomia · Física · Química · Biologia · Geologia Matemàtiques Aplicades Economia · Dinàmica de poblacions |
Classificació |
Conceptes generals Teorema de Picard-Lindelöf · Wronskià · Retrat de fase · Espai de fases Estabilitat: asimptòtica / exponencial / de Lyapunov Taxa de convergència · Integració numèrica · Delta de Dirac |
Mètodes de resolució Mètode de les característiques · Mètode d'Euler · Diferències finites · Elements finits · Volums finits · Mètode de Galerkin · Factor d'integració · Transformada integral · Teoria de la pertorbació · Runge-Kutta · Separació de variables · Coeficient indeterminats |
El principi de màxim de Hopf és un principi de màxim en la teoria d'equacions diferencials parcials el·líptiques de segon ordre i s'ha descrit com el "resultat clàssic i bàsic" d'aquesta teoria. Generalitzant el principi de màxim per a les funcions harmòniques que Gauss ja coneixia el 1839, Eberhard Hopf va demostrar el 1927 que si una funció satisfà una desigualtat diferencial parcial de segon ordre d'un cert tipus en un domini de R n i assoleix un màxim en el domini, llavors la funció és constant. La idea senzilla darrere de la demostració de Hopf, la tècnica de comparació que va introduir per a aquest propòsit, ha donat lloc a una gran varietat d'aplicacions i generalitzacions importants.[1]
Formulació matemàtica
Sigui u = u (x ), x = (x 1, …, x n ) una funció C2 que satisfà la desigualtat diferencial
en un domini obert (subconjunt obert connectat de Rn)Ω, on la matriu simètrica aij = aji(x) és localment uniformement positiva definida en Ω i els coeficients aij, bi estan localment limitats. Si u pren un valor màxim M en Ω aleshores u ≡ M.
Els coeficients aij, bi són només funcions. Si se sap que són continus, n'hi ha prou amb exigir una definició positiva puntual d' un ij en el domini.[2]
Normalment es pensa que el principi de màxim de Hopf s'aplica només als operadors diferencials lineals L. En particular, aquest és el punt de vista que prenen Courant i el Methoden der mathematischen Physik de Hilbert. En les seccions posteriors del seu article original, però, Hopf va considerar una situació més general que permet certs operadors no lineals L i, en alguns casos, condueix a declaracions d'unicitat en el problema de Dirichlet per a l'operador de curvatura mitjana i l' equació de Monge-Ampère.[3]
Comportament de límit
Si el domini té la propietat de l'esfera interior (per exemple, si té un límit suau), es pot dir una mica més. Si a més dels supòsits anteriors, i u pren un valor màxim M en un punt x 0 polzades , aleshores per a qualsevol direcció exterior ν a x 0, es compleix tret que .[4]
Referències
- ↑ «Lecture Three: The Hopf Maximum Principle» (en anglès). https://ocw.mit.edu.+[Consulta: 23 agost 2014].
- ↑ «Lecture Nine: Hopf and Harnack Revisited» (en anglès). https://ocw.mit.edu.+[Consulta: 14 agost 2023].
- ↑ Wheeler, Miles. The Hopf lemma and the strong maximum principle (en anglès). https://people.bath.ac.uk. Arxivat 2023-08-14 a Wayback Machine.
- ↑ Han, Qing. Elliptic Partial Differential Equations (en anglès). American Mathematical Soc., 2011, p. 28. ISBN 9780821853139.