Comparació de la convergència del producte de Wallis (asteriscs liles) i diverses sèries infinites per π. Sn és l'aproximació després de prendre n termes. Cada subgràfica amplia la precisió de la imatge en un factor de 10.
En matemàtiques, el producte de Wallis és una expressió que s'utilitza per representar el valor de π que va ser descoberta pel matemàtic anglès John Wallis el 1655 i que estableix queː[1]
Demostració
Abans de res, s'ha de considerar que les arrels de sin(x)/x són ±nπ, on n = 1, 2, 3.... Llavors, es pot expressar el sinus com un producte infinit de factors lineals d'arrelsː
on k és una constant.
Per trobar la constant k, es pren el límit en ambdós costatsː
Sabent que:
Es fa k=1. S'obté la fórmula d'Euler-Wallis per al sinus:
Fent x=π/2, s'obté:
Referències
↑«Wallis Formula» (en anglès). Math World. [Consulta: 8 desembre 2015].
Enllaços externs
Michiel Hazewinkel (ed.). Wallis formula. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.