Cada equació d'un sistema d'equacions amb tres variables determina un pla. Resoldre el sistema és trobar els punt d'intersecció de tots els plans. En el sistema representat de la il·lustració determina tres plans (tres equacions) que es tallen en un punt, de manera que el sistema té una única solució (sistema compatible determinat).
En matemàtiques, un sistema d'equacions lineals és un conjunt d'equacions lineals que comparteixen el mateix conjunt de variables o incògnites. Per exemple:
és un sistema de tres equacions amb tres variables , i . Una solució per a un sistema d'equacions lineals és l'assignació de valors a les variables de tal manera que els valors siguin vàlids per a totes les equacions alhora. Una solució per al sistema anterior seria:
que és vàlida per a les tres equacions.[1]
Un sistema d'equacions pot tenir una única solució, diverses solucions, o cap. En funció de les possibles solucions hom parla de:
Sistema compatible: Si té solució.
Sistema determinat: Si només té una solució.
Sistema indeterminat: Si té un nombre infinit de solucions.
Sistema incompatible: Si no té cap de solució.
Exemple elemental
El tipus més senzill de sistema lineal consta de dues equacions i dues variables o incògnites:
Un mètode per a la solució d'aquest sistema és el següent. En primer lloc, a l'equació de dalt aïllarem la variable o incògnita , expressant-la en termes de :
Ara substituirem a l'equació de sota la per aquesta expressió:
Això dona com a resultat una equació a la que només hi ha la variable . Si agrupem les podem escriure l'expressió anterior com:
Ara que ja sabem que , podem substituir aquest valor a l'equació i el resultat serà
Aquest mètode, anomenat de substitució, es pot generalitzar per resoldre sistemes amb més de dues variables o incògnites.
Forma general
De manera general, un sistema de n equacions lineals amb m incògnites es pot escriure com segueix (tenint en compte que i i j representen índexs i no potències en expressions com ):
On:
són les incògnites,
són els coeficients de les equacions del sistema, i
són els termes constants.
Sovint, els coeficients i les incògnites són nombres reals o complexos, però també poden ser nombres enters i racionals, com són els polinomis i els elements d'una estructura algebraica abstracta.
Solucionar el sistema consisteix a trobar tots els valors de les variables (incògnites) que satisfan, alhora, les equacions simultàniament.
Generalitats
La resolució de sistemes lineals d'equacions és un dels problemes més antics de les matemàtiques, els quals tenen una infinitat d'aplicacions, tant dintre de les mateixes matemàtiques com en altres ciències i tècniques, sigui el processament de senyals digitals, sigui l'estimació, la predicció i, més generalment, la programació lineal, així com en l'aproximació de problemes no lineals d'anàlisi numèrica. Uns algorismes eficients per a resoldre sistemes d'equacions lineals són l'eliminació de Gauss-Jordan i, millor, la factorització de Cholesky.[2] Per a sistemes d'igual nombre d'equacions que d'incògnites hi ha, també, la regla de Cramer que, malgrat la seva importància teòrica, no és gens eficient per a sistemes amb un nombre d'incògnites superior a dos.
Marcs conceptuals
Hi ha, en principi, dos marcs conceptuals en el si dels quals podem interpretar el significat d'un cert sistema lineal d'equacions, així com el dels mètodes de resolució. Són aquests:
Dependències lineals en un cert conjunt de vectors
Podem considerar cada columna de coeficients del sistema lineal com a vectors d'un cert espai vectorial de dimensió . Aleshores tenim els vectors
i el sistema es pot escriure
és a dir,
i, en aquest marc, solucionar el sistema lineal d'equacions consisteix a esbrinar totes les maneres possibles en les quals el vector és combinació lineal dels vectors . Si el vector no n'és combinació lineal, el sistema no té solució i es diu que és incompatible. Si vector sí que ho és, el sistema té solucions i es diu compatible i si, a més, els vectors són linealment independents, l'expressió de com a combinació lineal de és única i el sistema té solució única: és un sistema compatible determinat. En cas contrari, hi ha més d'una solució i el sistema es diu compatible indeterminat.
Antiimatge d'un vector en una certa aplicació lineal
El sistema també equival a la igualtat matricial
En aquest context, la matriu
correspon a la d'una certa aplicació lineal d'un espai vectorial de dimensió en un altre espai vectorial de dimensió :
Aleshores, si
són sengles bases dels espais i , les columnes de la matriu corresponen a les respectives imatges per dels vectors de la base de expressats en la base de :
la columna d'incògnites correspon a un cert vector de expressat en la base :
i la columna de termes independents correspon a un cert vector de expressat en la base :
i ara, en aquest altre marc, solucionar el sistema consisteix a trobar tots els vectors pels quals , és a dir, trobar tota la antiimatge del vector .
Si , és a dir, si no és de la imatge de , el vector no existeix pas i, aleshores, el sistema no té solució: és incompatible. Si , és a dir, si pertany a la imatge de , hi ha vectors que fan i el sistema té solució: és compatible. Si, a més, és una aplicació lineal injectiva, el vector és únic, la solució del sistema és única i el sistema és determinat. Si no és injectiva, hi ha més d'una solució i el sistema es diu indeterminat.
Mètodes de resolució
Resolució pel mètode de reducció de Gauss
Els dos marcs conceptuals esmentats porten, tanmateix, al mateix problema. Trobar els vectors que fan consisteix en trobar els coeficients (les incògnites!) a
i tornem a estar davant del problema d'esbrinar totes les maneres possibles, si n'hi ha, en les quals el vector és combinació lineal dels vectors , és a dir, totes les maneres possibles en les quals el vector
és combinació lineal dels vectors
i, si posem , es tracta del mateix problema, exactament, plantejat al primer dels marcs conceptuals exposats.
Aquest problema té la seva resposta en el mètode de reducció de Gauss. Es tracta de considerar les dues matrius,
respectivament, la matriu del sistema i la matriu ampliada del sistema, fer-ne la reducció, comparar els rangs de la matriu del sistema i el de la matriu ampliada, i expressar convenientment les relacions de dependència lineal que es posaran de manifest.
Quant a compatibilitat i determinació
Si , aleshores això indica que el vector és independent dels vectors de la matriu , en conseqüència, no pot ser-ne una combinació lineal i el sistema no té solució: es diu que és incompatible. En canvi, implica que no és independent dels vectors de i, per tant, que sí que n'és una combinació lineal i el sistema sí que te solució: és compatible. Si, a més, , els vectors de són linealment independents i l'expressió de és única: el sistema té solució única i és compatible i determinat. En canvi, si , els vectors de no són independents i la solució no és única: el sistema és compatible i indeterminat.
Obtenció de les solucions
Il·lustrarem ara com s'obté la solució general d'un sistema a partir de la reducció de la matriu ampliada mitjançant un exemple. Considerem el sistema
de matriu ampliada
equivalent a
amb
Una vegada feta la reducció de Gauss, obtenim la matriu
El rang de la matriu del sistema és 3 i el de la matriu ampliada també és 3. Per tant el sistema és compatible. Però com que aquest rang, 3, és més petit que el nombre d'incògnites, que és 4, el sistema és indeterminat.
La relació ara òbvia:
com que el problema consistia, precisament en trobar els coeficients dels vectors en una combinació lineal que dona el vector , ens proporciona una solució particular del sistema:
i, a partir de la relació, també òbvia,
podem escriure, per a arbitrari,
és a dir,
que, per les mateixes raons, dona la solució general del sistema:
que se sol escriure
Observem com els valors , i de la solució particular ja apareixen com a components del vector a la matriu reduïda, i com els valors i del vector afegit per a la solució general ja apareixen com a components del vector també a la matriu reduïda.
Si un altre sistema de quatre equacions en les cinc incògnites té, després de la reducció, com a matriu ampliada, la següent,
les relacions
donen, amb i arbitraris,
és a dir,
i la solució general és
Resolució per la regla de Cramer
La regla de Cramer és un mètode de resolució per als sistemes d'equacions lineals que es basa en la utilització de determinants. Per exemple, la solució d'aquest sistema:
vindrà donada per:
Per a cada incògnita, el denominador és el determinant de la matriu de coeficients, mentre que el numerador és el determinant d'una matriu a la que una columna ha estat substituïda pel vector de termes constants (en vermell a les expressions anteriors). Tot i que la regla de Cramer és una aportació teòrica important i és útil per a sistemes petits, és poc pràctica per a matrius grans, ja que el càlcul de grans determinants és una mica incòmode.
Algorismes alternatius
S'han desenvolupat algorismes alternatius molt més eficients que el mètode de reducció de Gauss per a una gran quantitat de casos específics. La majoria d'aquests algorismes millorats tenen una complexitat computacional de O(n²). Alguns dels mètodes més utilitzats són els següents:
Per als problemes de la forma , on és una matriu Toeplitz simètrica, és possible utilitzar la recursió de Levinson o algun dels mètodes derivats d'aquest. Un mètode derivat de la recursió de Levinson és la recursió de Schur, que es fa servir àmpliament en el camp del processament digital de senyals.
Per als problemes de la forma , on és una matriu singular o gairebé singular, la matriu es descompon en el producte de tres matrius én un procés que s'anomena descomposició en valors singulars.
Sistemes homogenis
Si els termes independents del sistema són tots zero,
el sistema es diu homogeni. Naturalment, en aquest cas, el rang de la matriu del sistema i el rang de la matriu ampliada coïncideixen i, així, un sistema homogeni és sempre compatible i té, com a mínim, la solució trivial
Solucionar un sistema homogeni, en el context de les aplicacions lineals, consisteix a trobar els vectors pels quals , és a dir, trobar el nucli de l'aplicació lineal . Si el rang de la matriu del sistema és , el nombre d'incògnites, aleshores els vectors que la componen són linealment independents i són una base de la imatge de . Aleshores, l'aplicació és injectiva, o i la solució és única: el sistema és determinat i l'única solució és la solució trivial. Si el rang és més petit, el sistema és indeterminat, perquè el nucli de no és trivial.
La relació entre els rangs de la matriu i de la matriu ampliada i la compatibilitat i indeterminació del sistema, així com el nombre de graus de llibertat de les solucions que hem anat trobant, se sistematitzen en l'enunciat del teorema de Rouché-Frobenius.
Notes i referències
↑Tal com s'explica a l'article, l'àlgebra lineal és una disciplina matemàtica molt ben estudiada que compta amb una gran quantitat de fonts. Es pot trobar gairebé tot el material presentat en aquest article a les obres de Lay 2005, Meyer 2001 i Strang 2005.
↑Press, William H.; Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling i Brian P. Flannery. Numerical Recipes a C: The Art of Scientific Computing (second edition) (en anglès). Cambridge University Press, 1992, p. 994. ISBN 0-521-43108-5 [Consulta: 23 abril 2011]. Arxivat 2018-08-25 a Wayback Machine.
Bibliografia
Axler, Sheldon Jay. Linear Algebra Done Right (en anglès). 2a edició. Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387982590.
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications (en anglès). 3a edició. Addison Wesley, 22 d'agost del 2005. ISBN 978-0321287137.
Meyer, Carl D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (en anglès). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 15 de febrer del 2001. ISBN 978-0898714548 [Consulta: 23 abril 2011]. Arxivat 2009-10-31 a Wayback Machine.
Poole, David. Linear Algebra: A Modern Introduction (en anglès). 2a edició. Brooks/Cole, 2006. ISBN 0-534-99845-3.
Anton, Howard. Elementary Linear Algebra (Applications Version) (en anglès). 9a edició. Wiley International, 2005.
Leon, Steven J. Linear Algebra With Applications (en anglès). 7a edició. Pearson Prentice Hall, 2006.
Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications (en anglès), 2005.