Transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau).

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert H {\displaystyle {\mathcal {H}}} d'una funció real s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} s'obté mitjançant la convolució dels senyals s ( t ) {\displaystyle s(t)} i 1 / ( π t ) {\displaystyle 1/(\pi t)} obtenint s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} . Per tant, la transformada de Hilbert s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada s ( t ) {\displaystyle s(t)} i resposta a l'impuls 1 / ( π t ) {\displaystyle 1/(\pi t)} .

Aplicacions

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:

s ^ ( t ) = H { s } ( t ) = ( h ∗ s ) ( t ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ s ( τ ) t − τ d τ . {\displaystyle {\widehat {s}}(t)={\mathcal {H}}\{s\}(t)=(h*s)(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {s(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .\,}

on h ( t ) = 1 / π t {\displaystyle \scriptstyle h(t)=1/\pi t} , considerant la integral com el valor principal (cosa que evita la singularitat τ = t {\displaystyle \tau =t\,} ).

Utilitzant s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} es pot construir el senyal analític de s(t) com a:

S a ( t ) = s ( t ) + i s ^ ( t ) {\displaystyle S_{a}(t)=s(t)+i{\widehat {s}}(t)}

La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

H ( ω ) = F { h } ( ω ) = { + j si  ω < 0 − j si  ω > 0 {\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,={\begin{cases}+j\,&{\mbox{si }}\omega <0\,\\-j\,&{\mbox{si }}\omega >0\,\end{cases}}}

o, de manera equivalent:

H ( ω ) = F { h } ( ω ) = − j ⋅ sgn ⁡ ( ω ) {\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )}

j {\displaystyle j\,} (o també i {\displaystyle i\,} ) és la unitat imaginària.

I, com que:

F { s ^ } ( ω ) = H ( ω ) ⋅ F { s } ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )} ,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} +90° i les part de freqüències positives -90°.

Transformada inversa de Hilbert

També, H 2 ( ω ) = − 1 {\displaystyle H^{2}(\omega )=-1\,} , per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per − H ( ω ) {\displaystyle -H(\omega )\,} , s'obté que:

F { s } ( ω ) = − H ( ω ) ⋅ F { s ^ } ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}

d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :

S ( t ) = − ( h ∗ s ^ ) ( t ) = − H { s ^ } ( t ) . {\displaystyle S(t)=-(h*{\widehat {s}})(t)=-{\mathcal {H}}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}

Exemples de transformades

Senyal
s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} 		Transformada de Hilbert
H { s } ( t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\{s\}(t)}
sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)\,} − cos ⁡ ( t ) {\displaystyle -\cos(t)\,}
cos ⁡ ( t ) {\displaystyle \cos(t)\,} sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)\,}
1 t 2 + 1 {\displaystyle 1 \over t^{2}+1} t t 2 + 1 {\displaystyle t \over t^{2}+1}
sin ⁡ ( t ) t {\displaystyle \sin(t) \over t}
Funció sinc		 1 − cos ⁡ ( t ) t {\displaystyle 1-\cos(t) \over t}
⊓ ( t ) {\displaystyle \sqcap (t)}
Funció rectangle		 1 π ln ⁡ | t + 1 2 t − 1 2 | {\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}
Δ ( t ) {\displaystyle \Delta (t)}
Funció delta de Dirac		 1 π t {\displaystyle {1 \over \pi t}}