σ-konečná míra je v teorii míry označení takové míry, která je definována na σ-algebře
tvořené podmnožinami množiny
, přičemž platí, že
lze vyjádřit jako spočetné sjednocení množin o konečné míře.
Nechť
je měřitelný prostor s mírou
. Pak se
nazývá σ-konečná, pokud splňuje jednu z následujících čtyř ekvivalentních podmínek:
- Množinu
je možno pokrýt spočetnou množinou měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny
, kde
pro všechna
a přitom ![{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86ba8a1cf1b94f075a215b5d0fac5399d4550f2)
- Množinu
je možno pokrýt spočetnou množinou navzájem disjunktních množin o konečné míře. Tedy existují
, kde
a
a
pro
, které splňují
. - Množinu
je možno pokrýt monotónní posloupností měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny
s
splňující
pro všechna
, přičemž platí
. - Existuje kladná měřitelná funkce
, jejíž integrál je konečný, tedy:
pro všechna
a ![{\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c423a809971ca02a94a1f318a9da4becc36ed902)
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku σ-finite measure na anglické Wikipedii.
Literatura
- LUKEŠ, Jaroslav; MALÝ, Jan. Míra a integrál. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0543-0. Kapitola A. Míra a měřitelné funkce.