Carmichaelova funkce

Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi, je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.

Prvních 26 hodnot této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …^[1]

Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:

Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme

${\displaystyle \lambda (p^{k})=p^{k-1}(p-1)\,}$,

což zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.

Pro celá čísla k≥3 definujeme

${\displaystyle \lambda (2^{k})=2^{k-2}\,}$

a pro různá prvočísla ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{t}}$ a kladná celá čísla ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{t}}$ definujeme

${\displaystyle \lambda (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{t}^{k_{t}})=\mathrm {NSN} (\lambda (p_{1}^{k_{1}}),\lambda (p_{2}^{k_{2}}),\ldots ,\lambda (p_{t}^{k_{t}}))}$

kde ${\displaystyle \mathrm {NSN} }$ značí nejmenší společný násobek.

Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Carmichaelova funkce na Wikimedia Commons