Fundované jádro

Fundované jádro (ozn. WF) je matematický pojem z oblasti teorie množin. V axiomatizaci ZF_ (Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti) vymezuje třídu množin, která je vnitřním modelem ZF v ZF_.

Fundované jádro lze definovat transfinitní rekurzí iterováním operace potence z prázdné množiny takto:

Nejprve definujeme posloupnost množin ${\displaystyle \,V_{\alpha }}$ pro ${\displaystyle \alpha \in On}$ (On je třída všech ordinálních čísel).

• ${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$
• ${\displaystyle V_{\alpha +1}=\,P(V_{\alpha })}$
• ${\displaystyle V_{\delta }=\bigcup _{\beta <\delta }V_{\beta }}$ pro ${\displaystyle \delta }$ limitní

Fundované jádro (WF) pak definujeme ${\displaystyle \mathbb {WF} =\bigcup _{\alpha \in On}V_{\alpha }}$.

Třída WF má mnoho důležitých vlastností.

Třída WF je uzavřená na všechny definovatelné množinové operace a v důsledku tedy obsahuje i všechny definovatelné množinové konstanty (nulární operace), mezi něž patří speciálně všechny základní číselné obory. Dokonce množiny ${\displaystyle \mathbb {N,Z,Q,R,C} }$ všech po řadě přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel jsou prvky již množiny ${\displaystyle \,V_{\omega +\omega }}$ z definice WF.

Třída WF je vnitřním modelem ZF v ZF_ (tj. ve WF platí všechny (do WF relativizované) axiomy ZF, včetně axiomu fundovanosti).

Třída WF je největší (vzhledem k inkluzi) [[tranzitivní množina|tranzitivní třída]], na níž je relace ${\displaystyle \in }$ fundovaná.

Mostovského věta o kolapsu říká, že ve WF lze pomocí ∈ simulovat všechny myslitelné binární relační struktury „příjemných“ vlastností. Zní takto:

Pro každou úzkou extenzionální (na A) a fundovanou (na A) relaci R na třídě A existuje jednoznačně určená tranzitivní podtřída T třídy WF taková, že struktury <R,A> a <∈,T> jsou izomorfní.

V ZF_ je dokazatelné ${\displaystyle \mathbb {L} \subseteq \mathbb {WF} \subseteq \mathbb {V} }$, kde ${\displaystyle \mathbb {L} }$ je třída všech konstruovatelných množin a ${\displaystyle \mathbb {V} }$ je univerzální třída.

Axiom fundovanosti platí ve WF (tj. platí zde jeho relativizace do WF). Axiom fundovanosti je dokonce ekvivalentní s tvrzením, že každá množina leží ve WF (tj. ${\displaystyle (AF)\Leftrightarrow (\mathbb {V} =\mathbb {WF} )}$).

• Konstruovatelná množina