Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Znění
Na prostoru s mírou
mějme μ-měřitelné funkce
na
. Dále nechť existují čísla
, taková, že:
. Pak platí:
.
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že
a
.
Aritmetická míra
V případě
-rozměrného Eukleidovského prostoru
, s množinou
a
aritmetickou mírou dostáváme:
.
Rovnost nastává, právě když
.
Lp prostory
Pokud
, tak
a navíc:
![{\displaystyle \int _{X}|f\cdot g|\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\cdot \left(\int _{X}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0b993f85b37faf32cd6de1771d5c08ac7b027d)
Pro
pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a
platí
. Rovnost nastává, právě když r=s nebo
. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.