Identická relace

Identická relace (někdy také prostě identita) na množině ${\displaystyle X\,\!}$, označovaná obvykle ${\displaystyle id_{X}\,\!}$, je binární relace, pro kterou platí:

${\displaystyle id_{X}=\{(a,a);a\in X\}}$

Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.

• Relace = je identita na přirozených, celých, racionálních, reálných i komplexních číslech.
• Relace < není identita na přirozených číslech, protože 1<2 - v relaci < je tedy obsažena „neidentická“ dvojice .

Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).

Identita ${\displaystyle id_{X}\,\!}$ je ekvivalence na množině ${\displaystyle X\,\!}$ - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na ${\displaystyle X\,\!}$ definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je ${\displaystyle id_{X}\,\!}$ nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na ${\displaystyle X\,\!}$ vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).

Identita je ${\displaystyle id_{X}\,\!}$ je také neostré uspořádání množiny ${\displaystyle X\,\!}$. Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny všech neostrých uspořádání množiny ${\displaystyle X\,\!}$.