Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole
V matematice je křivkový integrálintegrálskalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky zobecněním jednorozměrného integrálu. Křivkové integrály v rovině lze počítat pomocí křivkových integrálů funkcí komplexní proměnné.
Definice
Mějme orientovanou křivku, která je definována rovnicemi pro . Na této křivce nechť je definována funkce .
Křivku rozdělíme na oblouků v bodech s parametry . Na každém oblouku zvolíme bod o souřadnicích a sestrojíme součty
kde je délka oblouku . Největší z délek při daném dělení nazveme normou dělení, tzn. .
Pokud existuje takové číslo , resp. , resp. , že k libovolnému lze najít takové , že , resp. , resp. pro každé dělení , pro které bez ohledu na volbu bodů na , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce po křivce vzhledem k , resp. k , resp. k , což zapisujeme vztahy
Demonstrace významu křivkových integrálů
Integrál označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály jako křivkové integrály druhého druhu. Je-li funkce spojitá na křivce , pak uvedené integrály existují. Za integrál druhého druhu se považuje také integrál:
.
Je-li křivka uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak .
Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou ohraničena funkcí , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny , resp. , je určen integrálem , resp. .
Vlastnosti křivkových integrálů
Je-li orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí
a podobně pro křivkové integrály prvního druhu
Jsou-li na křivce definovány funkce , pak pro libovolné konstanty
Označme jako křivku, která má opačnou orientaci než křivka . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.
Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.
Zobecnění křivkových integrálů
Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti definována spojitá funkce a křivka zadaná parametricky vztahy pro , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme
Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar
Užití křivkových integrálů
Křivkové integrály mají široké využití v diferenciální geometrii, např. výpočet délky křivky či obsahu plochy, a ve fyzice, např. výpočet hmotnosti, těžiště a statických momentů nebo setrvačnosti tělesa, či výpočet vykonané práce podél dráhy, rovné křivkovému integrálu vektorusíly podle dráhy.
Diferenciální geometrie
V diferenciální geometrii hrají důležitou roli integrály prvního druhu (integrály ze skalárního pole podél křivky, neorientované) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky, orientované).
Integrál prvního druhu
Nechť je skalární pole podél jednoduché po částech hladké křivky parametrizované zobrazením , pro které je nenulové pro každé . Potom křivkový integrál prvního druhu píšeme následovně, přičemž integrál elementu délky křivky je roven délce křivky:
,
kde , neboť ,,.
Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky).
Integrál druhého druhu
Oranžová křivka C zobrazuje trajektorii částice uvnitř vektorového pole. Částice se pohybuje z bodu a do bodu b podél křivky a probíhá vektorovým polem F. Níže napravo sledujeme vektor z pohledu částice. Při změně směru se šipky os otáčejí. Modrá šipka znázorňuje aktuální orientaci částice vzhledem k poli F. Dole se zelenou barvou tvoří křivka podle směru cesty částice (křivka C). Vytvořená křivka zelenou barvou je ekvivalentní křivkovému integrálu.
Nechť je vektorové pole podél jednoduché po částech hladké křivky parametrizované zobrazením , pro které je nenulové pro každé . Potom křivkový integrál druhého druhu píšeme následovně:
,
kde .
Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.
Transformace integrálu II. druhu
Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu pomocí skalárního součinu vektorového pole a tečného vektoru křivky:
.
Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z konzervativního pole (nevírového), které je gradientem funkce (potenciálu), na křivce s počátečním bodem A a koncovým bodem B, lze psát:
,
kde je totální diferenciál funkce , integrál pak nezávisí na cestě (křivce), ale jen na hodnotách potenciálu počátečního a koncového bodu.
Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:
.
Komplexní analýza
V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce po křivce, kde je její parametr probíhající interval :
,
kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení:
.
Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.
Příklad
Mějme funkci a křivku definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako , kde parametr probíhá interval :
Obrázky, zvuky či videa k tématu křivkový integrál na Wikimedia Commons
Kniha Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty ve Wikiknihách
STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z: http://hdl.handle.net/10563/34231. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.