Lagrangeova funkce
Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.
Definice
Pro konzervativní systém má lagrangián tvar
kde jsou zobecněné souřadnice, jsou zobecněné rychlosti, je celková kinetická energie, je potenciální energie a je počet stupňů volnosti.
Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru . Pak:
- [pozn. 1]
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.
Vlastnosti
Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí
- ,
kde je libovolná funkce polohy a času.
Hustota lagrangiánu
Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem
Jednoduché příklady
- Lagrangián částice s rychlostí v konzervativním poli s potenciální energií
- Lagrangián částice s nábojem v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem a magnetickým vektorovým potenciálem
- Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ):
Poznámky
- ↑ Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)
Literatura
- BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.
- LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24–26.
Související články
- Lagrangeovská formulace mechaniky
- Eulerova–Lagrangeova rovnice
- Akce (fyzika)
![]() | Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |