Matematické kyvadlo
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pendulum.svg/220px-Pendulum.svg.png)
Matematické kyvadlo je nejjednodušším matematickým modelem kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavěšený na tenkém nepružném dokonale ohebném vlákně zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a tíhové pole se považuje za homogenní. Pohyb se navíc děje v jedné rovině a lze jej tak popsat jednou souřadnicí, většinou úhlem výchylky z rovnovážné polohy. Matematické kyvadlo je netlumený mechanický oscilátor, tedy soustava, která po dodání počáteční energie periodicky kmitá. Je to nelineární systém, ale při malých výchylkách (±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit např. pomocí funkce sinus.
Matematický popis
Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Tečná složka síly je
- ,
kde je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy.
Pro tečné zrychlení platí:
Diferenciální rovnice pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy
- , což je Cayuchy-Eulerova diferenciální rovnice, a kde
kde je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí - přímo úhlem (v obloukové míře)
- .
Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)
Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku (jejíž velikost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost
- ,
kde je čas, což je pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru s kruhovou frekvencí ω a periodou T
- .
Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv. Matematické kyvadlo lze tedy použít k měření místního tíhového zrychlení.
Reálné kyvadlo
Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba vyšší transcendentní funkce úplný eliptický integrál I. druhu
pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu
Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady
- .
Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla přímo úměrné rychlosti, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.
Redukovaná délka
Délka matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí
- ,
kde představuje redukovanou délku kyvadla, je hmotnost tělesa, je vzdálenost závěsu od těžiště a je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.
Reverzní kyvadlo
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Reverzni_kyvadlo.svg/220px-Reverzni_kyvadlo.svg.png)
Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě .
Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu , pak redukovaná délka je
- ,
kde označuje vzdálenost těžiště od bodu .
Kýve-li se těleso kolem středu kyvu , platí podle Steinerovy věty
Pro redukovanou délku dostaneme
Z předchozích vztahů pak plyne
Redukovaná délka pro osu je tedy stejná jako pro původní osu .
Pokud je těleso zavěšeno v bodě , který je od bodu vzdálen o redukovanou délku , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem
- .
Související články
- Fyzické kyvadlo
- Torzní kyvadlo
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu matematické kyvadlo na Wikimedia Commons