Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.
Historie
Maurice Fréchet zavedl pojem metrického prostoru ve své práci Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
Neformální úvod
Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:
Tyto pojmy mají své definice na reálné ose, které silně využívají pojem "vzdálenost" (tedy absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel). Lze je však zobecnit na jakoukoli množinu, kde je pojem "vzdálenost" nějak definovaný, například množinu bodů v rovině a prostoru. Nebo množinu spojitých funkcí na intervalu, kde vzdáleností je maximum jejich rozdílu. Pak se lze ptát, zda je nějaká množina funkcí uzavřená, zda posloupnost funkcí konverguje apod.
Jelikož studium těchto analogií (mezi reálnou osou a složitějšími množinami) přináší mnoho užitečných výsledků, jsou formalizovány pojmem "Metrický prostor", což je množina spolu se zobrazením, které každé dvojici bodů přiřadí tzv. metriku. Pojmy "metrika" a "vzdálenost" se při neformálním vyjadřování užívají záměnně, ale pojem "metrika" se snaží zdůraznit, že může jít o libovolné zobrazení splňující axiomy níže, nejen o vzdálenost v klasickém smyslu. Na téže množině (např. body v rovině) lze zavést několik různých metrik.
Definice
Metrický prostor je dvojice, kde je libovolná neprázdná množina a je tzv. metrika, což je zobrazení
,
které splňuje následující axiomy (pro libovolná ):
Tyto axiomy nejsou nezávislé, nezápornost totiž vyplývá z ostatních tří axiomů: . Nahradíme-li trojúhelníkovou nerovnost pozměněným tvarem
4*. ,
pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie.
Hodnota bývá nazývána vzdáleností bodů v metrice .
Vynecháme-li v axiomu 2 implikaci zleva doprava (tj. připustíme, aby dva různé body měly nulovou vzdálenost) a ponecháme tak pouze rovnost , nazýváme vzniklé zobrazení pseudometrikou.
Vynecháme-li 3. axiom, dostáváme kvazimetrický prostor se zobrazení nazývaným kvazimetrika.
Vynecháme-li 4. axiom, nazýváme vzniklé zobrazení semimetrikou.
Uzavřená koule se středem [2;1,5] a poloměrem 1 v součtové metrice.
tzv. součtová či manhattanská metrika (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na Manhattanu, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).
tzv. maximová metrika:
Na jakémkoli normovaném vektorovém prostoru lze definovat pošťáckou (pařížskou, moskevskou...) metriku: pro a . V této metrice hraje důležitou roli počátek. Dá se to představit tak, že všechny cesty z místa A do místa B vedou nejprve z A do tohoto významného bodu (Paříž, Moskva...) a až poté do B. Podobně lze definovat tzv. metriku francouzských železnic, která je definována shodně s výjimkou případů, kdy A a B leží na přímce procházející počátkem: v tom případě je jejich vzdálenost rovna jejich normální vzdálenosti. Vychází ze situace, kdy francouzské železnice tvořily hvězdu kolem Paříže, takže pokud člověk chtěl jet do města, ležícího na jiné trati, musel jet přes Paříž.
Příklady metrik na množinách funkcí
Suprémová metrikaMetrickým prostorem nazýváme prostor všech spojitých funkcí na intervalu s metrikou
(tzv. supremová metrika)
Další možnou metrikou v prostoru spojitých funkcí na intervalu je integrální metrika (pak se tento prostor nazývá Lp prostor)
Příklady na diskrétních množinách
Na libovolné neprázdné množině (ovšem většina užitečných aplikací se týká diskrétních množin) lze zavést diskrétní metriku takto:
a pro
Levenštejnova vzdálenost vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou textových řetězců, kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
Délka nejkratší cesty v grafu je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a souvislý).
Otevřená koule se středem v bodě x a poloměrem ε je množina . Někdy místo o otevřené kouli mluvíme o ε-okolí bodu x, pak ho značíme . Prstencové (redukované) ε-okolí bodu x je.
Uzavřená koule je množina .
(zúžení na ) je metrika na a prostor se nazývá podprostor metrického prostoru .
Řekneme, že x je vnitřní bod množiny M, jestliže existuje ε>0 splňující . Množina všech vnitřních bodů množiny M nazýváme vnitřkem množiny M a značíme nebo .
Řekneme, že bod x je hraničním bodem množiny M, jestliže platí . Množinu všech hraničních bodů nazýváme hranice a značíme ji . Z definice vidíme, že tyto body patří do uzávěru množiny i do uzávěru doplňku množiny.
každá posloupnost bodů z , která v metrickém prostoru konverguje k x, konverguje ke stejné limitě také v prostoru .
Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami a . Je-li přitom , pak o takto definovaných metrikách říkáme, že je silnější než (nebo je slabší než ).
Ekvivalence metrik
O metrikách na řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina je otevřená v metrice právě tehdy, když je otevřená v metrice . Jsou-li metriky ekvivalentní, pak pro každou množinu platí , kde je uzávěr množiny v metrice . Jestliže jsou metriky ekvivalentní, pak pro každou množinu také platí , kde je vnitřek množiny v metrice .
Hlavní pojmy
Prostor M je totálně omezený, pokud pro každé kladné číslo existuje konečná množina taková, že každý prvek M je k nějakému prvku S blíže, než . Množině se říká -síť. Prostor M je omezený, pokud existuje kladné číslo K takové, že vzdálenost libovolné dvojice prvků je menší, než K.
Kompaktní množina je množina, z jejíhož každého pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné pokrytí.
Uzavřený podprostor se definuje podobně, jako na reálných číslech, ovšem prostor může být uzavřený vůči některým svým nadprostorům a otevřený vůči jiným. Je-li uzavřený vůči všem, pak se nazývá absolutně uzavřený
Metrický prostor je velmi obecná struktura umožňující pracovat jednotně s mnoha různými druhy množin (množiny bodů, množiny funkcí apod.). Přesto je možno mnohé pojmy z metrických prostorů (například "uzavřená množina" nebo "spojité zobrazení") definovat ještě podstatně obecněji v pojmu topologický prostor. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, ovšem nikoli opačně. Topologické prostory tedy umožňují studovat vlastnosti ještě širší skupiny množin, než metrické prostory. Tím se zabývá oblast matematiky zvaná topologie.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu metrický prostor na Wikimedia Commons