Pythagorova věta o energii
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Relativistic_Dynamics.svg/330px-Relativistic_Dynamics.svg.png)
Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:
značí celkovou energii částice, je její klidová energie, je velikost hybnosti a je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice podle vztahu .[pozn 1]
Částice s nulovou hmotností
Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:
Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:
kde a jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii , zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna . Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí .
Částice s nenulovou hmotností
Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:
Je-li rychlost menší než , můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:
kde je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než , i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.
Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:
můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:
Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než , i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám .
Kinetická energie
Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:
Nemá-li částice klidovou hmotnost (), je . V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.
Pro částice s je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:
Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah , což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží a nikdy tuto hranici nepřekročí.
Čtyřhybnost
Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.
Poznámky
- ↑ V tomto článku proměnná označuje klidovou hmotnost částice, která nezávisí na volbě vztažné soustavy (na rychlosti částice vůči pozorovateli). V moderních publikacích o fyzice se již nepoužívá koncept tzv. relativistické hmotnosti, která na rychlosti závisí.
- ↑ Výraz je relativistická hmotnost zmíněná v předchozí poznámce. Zde ji jako hmotnost neoznačujeme, protože nemá přímý fyzikální význam a nepřináší nic nového oproti veličině .
Odkazy
Související články
Externí odkazy
- Speciální teorie relativity – přehled základních vztahů na Aldebaran.cz