Stejnoměrně spojitá funkce

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ lze říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Nechť ${\displaystyle ({\mathcal {X}},\rho )}$ a ${\displaystyle ({\mathcal {Y}},\sigma )}$ jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud ${\displaystyle \forall \varepsilon \ \exists \delta }$ tak, že ${\displaystyle \forall x,y\in X:\rho (x,y)<\delta }$ platí ${\displaystyle \sigma (f(x),f(y))<\epsilon }$

Pokud X a Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud ${\displaystyle \forall \varepsilon \ \exists \delta }$ tak, že ${\displaystyle \forall x,y\in X:|x-y|<\delta }$ platí ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota ${\displaystyle \delta }$ závisí pouze na velikosti ${\displaystyle \epsilon }$, a nikoli na bodu x.

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rⁿ, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Funkce ƒ : A → R^m, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností x_n a y_n splňujících:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0\,}$

platí:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.\,}$

• Funkce x ${\displaystyle \scriptstyle \mapsto kx,\ k\in \mathbb {R} }$ je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
• Exponenciální funkce x ${\displaystyle \scriptstyle \mapsto \,}$ e^x je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
• Nechť ${\displaystyle ({\mathcal {X}},\rho )}$ je metrický prostor. Pak ${\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }$ je stejnoměrně spojitá funkce.

• Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
• Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
• Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
• Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
• Pokud je reálná funkce ${\displaystyle f}$ spojitá na intervalu ${\displaystyle [0,\infty )}$ a existuje vlastní ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$, pak je funkce stejnoměrně spojitá na ${\displaystyle [0,\infty )}$.
• Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Stejnoměrně spojitá funkce na Wikimedia Commons