Zjemnění rozkladu je matematický pojem z oboru teorie množin, který umožňuje uspořádání množiny všech rozkladů určité pevně dané množiny.
Definice
Předpokládejme, že jsou
a
dva rozklady množiny
(množina podmnožin množiny
je rozklad, pokud její sjednocení je rovno
a každé dva její prvky jsou disjunktní množiny).
Řekneme, že rozklad
je zjemněním rozkladu
, pokud
vznikl z
rozdělením některých jeho množin na podmnožiny. Přesněji zapsáno
Tuto skutečnost zapisujeme symbolem
.
Příklady
Uvažujme o rozkladech množiny
všech přirozených čísel.
- Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny
je nejjemnější rozklad množiny
– pro každý jiný rozklad
platí
. - Rozklad množiny
na jednu jedinou množinu obsahující všechny prvky
, značenou
, je nejhrubší rozklad množiny
– pro každý jiný rozklad
platí
. - Je-li
rozklad
na zbytkové třídy po dělení číslem n (tj. například
), pak platí, že
, právě když b dělí a. Například
nebo
.
Zjemnění jako uspořádání
Dá se poměrně snadno ověřit, že relace
je neostré uspořádání množiny
všech možných rozkladů množiny
. Určitě se ale nejedná o lineární uspořádání – pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani
, ani
.
Příklad množiny všech rozkladů
Uvažujme o tříprvkové množině
. Tato množina má celkem pět rozkladů
, kde
![{\displaystyle R_{a}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805a7a4dd43ab9854c02085ad158f58dacd43954)
![{\displaystyle R_{b}=\{\{1,2\},\{3\}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c4dbc8fad3ea887b916058a10e23b4e31cc700)
![{\displaystyle R_{c}=\{\{1,3\},\{2\}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92d31fe6318a21d3333b680a4792ad84a143f9a)
![{\displaystyle R_{d}=\{\{2,3\},\{1\}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df81cd2684668b32cd6120ed4b64970aed09ef5)
![{\displaystyle R_{e}=\{\{1,2,3\}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89af0796c77e2a4060828d268768451c47417098)
Je vidět, že
![{\displaystyle R_{a}\ll R_{b}\ll R_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df3cbc0c0ac0ccfb9c0af58ac3cc4ec35aeb702)
![{\displaystyle R_{a}\ll R_{c}\ll R_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24bf0959534c07b583a72c7bb2f18f4d47e20ba)
![{\displaystyle R_{a}\ll R_{d}\ll R_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd6cdeb31d5cf05db219a0497fc16db63e53713)
nelze porovnat
Vztah rozkladů a ekvivalencí
Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika), odpovídá každý rozklad na množině
vzájemně jednoznačně nějaké ekvivalenci na množině
.
Je-li
rozklad a
jemu odpovídající ekvivalence, potom R je shodný s množinou tříd ekvivalence
a naopak –
lze definovat pomocí rozkladu
takto:
![{\displaystyle a\sim _{R}b\Leftrightarrow (\exists y\in R)(a\in y\land b\in y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ba1a4cfcd85602ce488aaf0d2d1efd8f234a4)
Lidsky: dva prvky jsou ekvivalentní, pokud náleží do stejné množiny v rozkladu
Označme
množinu všech možných ekvivalencí na množině
.
Dá se ukázat, že relace
(tj. "být podmnožinou) se chová na množině
úplně stejně, jako relace
na množině
, jinými slovy:
Množina
při uspořádání
je izomorfní s množinou
při uspořádání
.
Příklad množiny všech ekvivalencí
Vraťme se k tříprvkové množině
a spočítejme všechny ekvivalence, které na ní lze vytvořit. Žádný div, že jich je zase pět:
![{\displaystyle E(X)=\{E_{a},E_{b},E_{c},E_{d},E_{e}\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3e03c92ab2613e35fe1e6192789b164c5316a6)
![{\displaystyle E_{a}=\{[1,1],[2,2],[3,3]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bd95ddcf5eedae3825bc0a0c9e004459945d50)
![{\displaystyle E_{b}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28321012592b82eba46f68ef853ac63892a9c746)
![{\displaystyle E_{c}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,3],[3,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96a77e098e8f48951c429cd203508aba608154b)
![{\displaystyle E_{d}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81cdd8a9a39b6a6fb8f1df365681bb1029ccaf7)
![{\displaystyle E_{e}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d6cf3f8d90b2a03991612ec9e2eef175f2d4cc)
Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady – tak už to u izomorfních struktur chodí:
![{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{b}\subseteq E_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239b4908930eae63ca630179b63a52312ab8420e)
![{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{c}\subseteq E_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78b921b04847acc50acdc33dc5491694cc63942)
![{\displaystyle E_{a}\subseteq E_{d}\subseteq E_{e}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9ac9a206d34abac039a977bf37a922686b1f1a)
nelze porovnat
Množina všech rozkladů jako úplný svaz
Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz – lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.
Související články
Portály: Matematika