In dem mathematischen Teilgebiet lineare Algebra ist Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Selbstabbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.
Definition
Zwei
-dimensionale quadratische Matrizen
über dem Körper
heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix
gibt, sodass
![{\displaystyle B=S^{-1}AS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02e66a3e8839fdb3f7aeb28d4fa29b718353eba)
oder äquivalent
![{\displaystyle SB=AS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4637e68bb089a3ffa408b73d45533fdebded9b)
gilt. Die Abbildung
![{\displaystyle A\mapsto B=S^{-1}AS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bb3ae50c3c6dd475a979382edbb50aee11c9a2)
heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation. Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich, so heißt sie diagonalisierbar; ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, so heißt sie trigonalisierbar.
Beispiel
Die beiden reellen Matrizen
und ![{\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-5\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6953c9332af87a6141fb5ff12f0355af0123564d)
sind zueinander ähnlich, denn mit der regulären Matrix
![{\displaystyle S={\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d86a39351e930c88c818fa41eb3a3dd372e6a9)
gilt
.
Die Matrix
ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache
mit
erfüllt diese Identität.
Eigenschaften
Kenngrößen
Zwei zueinander ähnliche Matrizen
haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix
, dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen
![{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B}(\lambda )&=\det(\lambda I-B)=\det(\lambda I-S^{-1}AS)=\det(S^{-1}\lambda IS-S^{-1}AS)=\\&=\det(S^{-1}(\lambda I-A)S)=\det(S^{-1})\det(\lambda I-A)\det(S)=\det(\lambda I-A)=\chi _{A}(\lambda ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661048f1fd6c98d36dfa9acc4d27ce9cf8a23986)
Daher haben zueinander ähnliche Matrizen
- die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
- die gleiche Determinante und
- die gleiche Spur.
Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen
- den gleichen Rang,
- das gleiche Minimalpolynom und
- die gleiche jordansche Normalform.
Charakterisierung
Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben.
Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen
und
genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen
und
die gleiche Smith-Normalform aufweisen.
Äquivalenzklassen
Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Man schreibt
,
wenn
und
zueinander ähnlich sind, und notiert die zu einer Matrix
zugehörige Äquivalenzklasse durch
.
Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen
mit
der Einheitsmatrix
ähnlichen Matrizen aus genau einem Element
, denn
für alle regulären Matrizen
.
Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der
-Matrizen.
Vorgehensweise
Sind zwei zueinander ähnliche Matrizen
gegeben, so lässt sich eine Matrix
, mit der
gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen
und
in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform)
überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen
und ![{\displaystyle F=H^{-1}BH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78a6ff42560e1c73448706567563e06258efc4e)
mit regulären Matrizen
, so folgt daraus durch Gleichsetzen
.
Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach
.
Beispiel
Seien die beiden
-Matrizen
und
wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu
![{\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)=(\lambda +3)\lambda +2=(\lambda +2)(\lambda +1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47dfc2603ec1f12df63eeb55a2bca7e972486d3)
und
.
Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte
und
sind. Weil das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt
![{\displaystyle F={\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15b7564712210d3b13779a89b2a0f6df59cd44e)
hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form
und
, wobei
jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert
und
jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert
sind. Für
ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von
und
als
und
.
Entsprechend ergeben sich für
zwei Eigenvektoren durch Lösung von
und
als
und
.
Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform
sind demnach
und
,
und die gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix ist damit
.
Siehe auch
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. 18. Auflage. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-8348-0996-4.