Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen.

Zwei Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}}$ gibt und es Basen ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ und ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m}}$ gibt, so dass

${\displaystyle A={}_{B_{1}}M(f)_{C_{1}}}$ und

${\displaystyle B={}_{B_{2}}M(f)_{C_{2}}}$ gilt,

d. h. ${\displaystyle A}$ ist eine Darstellung von ${\displaystyle f}$ bezüglich der Basen ${\displaystyle B_{1}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ und ${\displaystyle C_{1}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m}}$, und ${\displaystyle B}$ ist eine Darstellung von ${\displaystyle f}$ bezüglich der Basen ${\displaystyle B_{2}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m}}$.

Zur Aussage „die ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind äquivalent über dem Körper ${\displaystyle K}$“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare ${\displaystyle m\times m}$-Matrix ${\displaystyle S}$ und eine invertierbare ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle T}$ über ${\displaystyle K}$, so dass ${\displaystyle B=SAT}$ gilt.

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163

• Ähnlichkeit (Matrix)

• Eric W. Weisstein: Equivalent Matrix. In: MathWorld (englisch).