Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen
nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im Endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.
Der brouwersche Abbildungsgrad
Der brouwersche Abbildungsgrad, benannt nach L. E. J. Brouwer, ordnet einer stetigen Funktion
für offenes, beschränktes
und gegebenes
eine ganze Zahl
zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung
bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad
von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad
, so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.
Axiomatische Definition
Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion
![{\displaystyle d\colon \{(f,\Omega ,y)\ |\ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {offen,beschr{\ddot {a}}nkt} \ ,\ f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\textrm {stetig}}\ ,\ y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )\}\rightarrow \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03184d173648337669981591d6addc2d909bca6)
mit den folgenden Eigenschaften:
für alle
. - Zerlegungseigenschaft:
, falls
disjunkte offene Teilmengen von
sind, so dass
.
ist bezüglich
konstant, falls
und
stetig sind mit
für alle
und
.
Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.
Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades
- Ist
, so ist die Gleichung
auf
lösbar.
- Ist
mit
![{\displaystyle \max\{|f(x)-g(x)|\,\colon x\in \partial \Omega \}<\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb523728d5c0ed487faaa8f3af82530bd6406bb0)
so gilt ![{\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(g,\Omega ,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ac07787fc5a944b3cda4159c1d47b50b2fc49a)
Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf
eindeutig festgelegt.
- Liegen
und
in derselben Zusammenhangskomponente
von
, so gilt ![{\displaystyle d(f,\Omega ,y_{1})=d(f,\Omega ,y_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03bd89d81892805b757bc5457c8a8540dc3e92b)
Man schreibt daher auch kurz
für
, um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.
- Seien
und
stetig und
die beschränkten Zusammenhangskomponenten von
sowie
, dann gilt die leraysche Produktformel
![{\displaystyle d(g\circ f,\Omega ,y)=\sum _{i}d(f,\Omega ,K_{i})\cdot d(g,K_{i},y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb76444168ad6cf989ced0a313c49753066c5b4)
worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.
Darstellungen des Abbildungsgrades
- Falls
zusätzlich auf
stetig differenzierbar ist und alle Punkte in
regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix
ist in diesen Punkten
nicht null, so gilt
![{\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc910375f3d3c25456b266be7592ccfa10f644ed)
Ist
nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion
wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie
hat. - Sei
wieder stetig auf
und stetig differenzierbar auf
,
kein kritischer Punkt. Sei außerdem
eine Schar stetiger Funktionen von
nach
mit
und
für alle
wählen, hierbei bezeichnet
den abgeschlossenen Ball vom Radius
um Null. Dann existiert ein
, so dass die Integralformel
![{\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\int _{\Omega }\phi _{\epsilon }(f(x)-y)J(f)(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4602aeba403772442280ec5a973a3d18d7a6b79)
für alle
gilt.
Umlaufzahl
Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl
. Identifiziert man
mit
, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve
kann man als stetiges Bild von
verstehen. Mit
wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung
. Ist nun
, so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck
für alle stetigen Fortsetzungen von
dieselbe Zahl. Es gilt nun
![{\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(S_{x}^{+})}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(\mathbb {S} (0))}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}=\operatorname {ind} (f(S),a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e130080f44e29d3ca2d6e3ecb4402c407fe15d5c)
hierbei bezeichnet
einen genügend kleinen Kreisring um
. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.
Der leray-schaudersche Abbildungsgrad
Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.[1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.
Kompakte Störungen der Identität
Seien
Banachräume und
eine Teilmenge des Banachraums
. Eine Funktion
heißt kompakter Operator, falls
stetig ist und, falls
beschränkte Mengen
auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten,
ist eine kompakte Teilmenge von
.
Ein Operator
, der sich als
mit einem kompakten Operator
darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.
Kompakte Homotopie
Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei
offen und beschränkt und
für
eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren
. Diese operatorwertige Funktion
heißt kompakte Homotopie auf
, falls zu jedem
ein
existiert, sodass
![{\displaystyle \|K(t_{1})(x)-K(t_{2})(x)\|_{X}\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2189b45ffea532eab26ca24cb13a7709066be1f9)
für alle
und
mit
gilt.
Definition
Sei
eine kompakte Störung der Identität,
offen und beschränkt und
. Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl
, so dass folgende Eigenschaften gelten:
- Ist
, dann ist die Gleichung
lösbar.
- Homotopieinvarianz: Ist
eine kompakte Homotopie auf
mit
für alle
und
, so ist der Abbildungsgrad
unabhängig von
.
Beispiel
Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.
Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung
eine Lösung in
hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass
ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass
auf
gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.
Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie
mit
und
für alle
und
. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad
nachweisen kann. Daraus folgt nämlich
für alle
und somit die Existenz eines
mit
.
Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem
![{\displaystyle x'=f(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3033de5704bc6e6b49de802b965382a39c28fe8)
für
und
gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls
stetig ist und falls
auf
für ein geeignetes
gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System
![{\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc473daa56d1fab10260c1bab9dc2049abc77483)
von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man
als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall
mit der Maximumsnorm
. Außerdem setzt man
![{\displaystyle F_{0}(x)(t):=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52792798eaef2f2b79ac908c9f8634330ce62950)
Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist
ein kompakter Operator und
eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von
untersucht wird, wird
gesetzt. Da
vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht,
mit einem
zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz
![{\displaystyle d(I-F_{0},B_{r}(0),y)=d(I,B_{r}(0),y)=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312ee8c14caa6c3128d71355cff0345273c10e9a)
Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.
Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten
Sei
![{\displaystyle f\colon M\rightarrow N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190f9ff6f9f4acba07624a16eb6be3fc9b5a96bd)
eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)
Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen
.
Der von f induzierte Homomorphismus
![{\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(N,\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa053936866e2e700c3908d1f91e878dd7a088)
ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.
Literatur
- Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
- Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5.
- Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-0-387-00173-9.
Einzelnachweise
- ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.