Die affine Gruppe oder allgemeine affine Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um die Gruppe aller invertierbaren, affinen Abbildungen eines affinen Raums über einem Körper
in sich selbst.
Definition
Eine bijektive, affine Abbildung auf einem Vektorraum
hat die Form
,
wobei
ein Vektorraumisomorphismus, das heißt ein Element der allgemeinen linearen Gruppe, ist und
ein fester Vektor. Das heißt,
ist die Kombination aus einem Vektorraumisomorphismus und einer Translation. Um die Abhängigkeit von
und
anzudeuten, schreiben wir auch
. Komposition und Umkehrung bijektiver affiner Abbildungen sind wieder bijektiv und affin, denn offenbar gilt
also ![{\displaystyle f_{A,v}\circ f_{B,w}=f_{AB,Aw+v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a55365019f3e97fbe838e7e504688b9031ead23)
also ![{\displaystyle f_{A,v}^{-1}=f_{A^{-1},-A^{-1}v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a51efed60c7f0e745e91d9e898197cf36cf45c)
Die bijektiven, affinen Abbildungen bilden daher eine Gruppe, die sogenannte affine Gruppe oder allgemeine affine Gruppe. Typische Bezeichnungen sind
[1],
[2] oder
[3]. Ist
der n-dimensionale Vektorraum über einem Körper
, so schreibt man auch
. Ist weiter
endlich mit
Elementen, so bezeichnet man
auch einfach mit
, denn ein endlicher Körper ist durch die Anzahl seiner Elemente bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Beispiele
AGL1(ℝ)
Sei
der eindimensionale reelle Vektorraum. Eine bijektive, affine Abbildung ist dann nichts anderes als eine Geradengleichung
mit
und
.
ist also die Gruppe aller nicht-konstanten Geradengleichungen. Jedes Element hat die Form
mit
. Also kann
mit
identifiziert werden, und für die Gruppenoperationen gilt bei dieser Identifikation
![{\displaystyle (a,v)\cdot (b,w)=(ab,aw+v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6edc58e0d7a0c6f39637ce049bde4bf755b4305)
.
ist das neutrale Element.
AGL1(5)
Ersetzt man in obigem Beispiel
durch den endlichen Körper
, so erhält man die im Folgenden beschriebene endliche Gruppe mit 20 Elementen.
Eine bijektive, affine Abbildung
hat die Gestalt
mit
und
.
Bezeichnet man ein solches Element einfach mit av, so ist
![{\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)=\{10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,31,32,33,34,40,41,42,43,44\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aeb0db71d6c95432cd196dd938e3e52c65572fc)
und man hat folgende Verknüpfungstafel:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94df94df340e16bf9b44e37334bb063a6499b6b) | ![{\displaystyle \,41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e37e1b93a51e93694e8f14b244309d62632649) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | ![{\displaystyle \,44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adfc167aeb0df508ba2396c34538cc10d8bf75f) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e122de33dc1e4fafdbb5b9389465de58915ee9) | ![{\displaystyle \,31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e11ace881b2049cdebab3c88cba85fa48aac18) | ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | |
| ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e37e1b93a51e93694e8f14b244309d62632649) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | ![{\displaystyle \,44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adfc167aeb0df508ba2396c34538cc10d8bf75f) | ![{\displaystyle \,40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94df94df340e16bf9b44e37334bb063a6499b6b) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e11ace881b2049cdebab3c88cba85fa48aac18) | ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | ![{\displaystyle \,34}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa052dbf81b59574921dc2b68b22570dccbbab) | |
| ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | ![{\displaystyle \,44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adfc167aeb0df508ba2396c34538cc10d8bf75f) | ![{\displaystyle \,40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94df94df340e16bf9b44e37334bb063a6499b6b) | ![{\displaystyle \,41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e37e1b93a51e93694e8f14b244309d62632649) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | ![{\displaystyle \,34}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa052dbf81b59574921dc2b68b22570dccbbab) | ![{\displaystyle \,30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e122de33dc1e4fafdbb5b9389465de58915ee9) | |
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| ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e122de33dc1e4fafdbb5b9389465de58915ee9) | ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | ![{\displaystyle \,31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e11ace881b2049cdebab3c88cba85fa48aac18) | ![{\displaystyle \,34}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa052dbf81b59574921dc2b68b22570dccbbab) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | ![{\displaystyle \,40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94df94df340e16bf9b44e37334bb063a6499b6b) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | ![{\displaystyle \,41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e37e1b93a51e93694e8f14b244309d62632649) | |
| ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | ![{\displaystyle \,31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e11ace881b2049cdebab3c88cba85fa48aac18) | ![{\displaystyle \,34}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa052dbf81b59574921dc2b68b22570dccbbab) | ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e122de33dc1e4fafdbb5b9389465de58915ee9) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | ![{\displaystyle \,41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e37e1b93a51e93694e8f14b244309d62632649) | ![{\displaystyle \,44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adfc167aeb0df508ba2396c34538cc10d8bf75f) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | |
| ![{\displaystyle \,34}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa052dbf81b59574921dc2b68b22570dccbbab) | ![{\displaystyle \,32}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c22a968f3150f399a1b4702a292850e8f304) | ![{\displaystyle \,30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e122de33dc1e4fafdbb5b9389465de58915ee9) | ![{\displaystyle \,33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5811f9750dd79f30aca3368e27c76118c3e576) | ![{\displaystyle \,31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e11ace881b2049cdebab3c88cba85fa48aac18) | ![{\displaystyle \,24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360252eee165b4d266911d3ecffd84f2f6ce161) | ![{\displaystyle \,22}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4035befc452f5dd1504617934c555039aa6e04) | ![{\displaystyle \,20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384f0c528551d28d6ef417d5f79fcce3869cfb06) | ![{\displaystyle \,23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed3300481addfa3e04d4cd57d264de4565e91a) | ![{\displaystyle \,21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03698d7b4901698c33a31cb126f45ab8a44ec03) | ![{\displaystyle \,14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6815c6b134ad6f9fb3d7ae3eea4101672b5d34) | ![{\displaystyle \,12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2a66c40063e5e57533f776ad01e59ebbdd03f) | ![{\displaystyle \,10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c41d2ad667502862674c3656df8bb0953ca837) | ![{\displaystyle \,13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0903fe39d19b278220457870cb90f4403c73a5) | ![{\displaystyle \,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d694e61f5a3f8d0162736fe298779e24e1008636) | ![{\displaystyle \,44}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adfc167aeb0df508ba2396c34538cc10d8bf75f) | ![{\displaystyle \,42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da678f5b1b4bb22532f49d36d977c15f7b3f0f0f) | ![{\displaystyle \,40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94df94df340e16bf9b44e37334bb063a6499b6b) | ![{\displaystyle \,43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511567cd991cad7eec017210274ad0028f1e252) | |
Die Anordnung der Elemente wurde dabei so gewählt, dass die oberen, linken Teile der Verknüpfungstafel die 5-elementige Untergruppe
und die 10-elementige Untergruppe
zeigen. Diese sind isomorph zu
bzw.
(siehe unten spezielle affine Gruppe ). Letztere ist offenbar nichtabelsch. Da es bis auf Isomorphie aber nur zwei 10-elementige Gruppen gibt, siehe Liste kleiner Gruppen, muss sie isomorph zur Diedergruppe
sein.
Die affine Gruppe als semidirektes Produkt
Konstruktion
Wir betrachten die affine allgemeine Gruppe
über dem Vektorraum
. Die Untergruppe der Translationen auf
ist isomorph zur additiven Gruppe
und die Untergruppe
operiert als Gruppe von Automorphismen auf den Translationen. Offenbar ist jedes Element aus
ein Produkt aus einem Element der Untergruppe
und der Translationengruppe
. Daher hat man das folgende semidirekte Produkt
.
Für
bedeutet das
.
Anzahl der Elemente
Damit lässt sich die Ordnung der Gruppe
über dem Körper
mit
Elementen leicht auf die Gruppenordnung von
zurückführen:[4]
![{\displaystyle \mathrm {ord} (\mathrm {AGL} _{n}(q))=|K^{n}|\cdot \mathrm {ord} (\mathrm {GL} _{n}(q))=q^{n}\cdot \prod _{i=0}^{n-1}(q^{n}-q^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4d30a429106954771aecf2d4f1a2ed0ed3625e)
Beispiel AGL1(5)
Das obige Beispiel
hat nach obiger Anzahlformel
Elemente und kann als
![{\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)\cong \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{5}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1209e6fef23a045eaa7675a37ffa4229af31b04)
geschrieben werden. Da
, erhält man
.
Dabei ist allerdings darauf zu achten, wie
als Automorphismen auf
operiert. Bei den vorgenommenen Identifikationen wird das erzeugende Element
auf die Multiplikation mit 2 auf
abgebildet. Das ist mit dem semidirekten Produkt
gemeint.
Beispiel AGL2(2)
ist die Gruppe der affinen Abbildungen des zweidimensionalen
-Vektorraums, sie permutiert die vier Vektoren dieses Vektorraums und ist daher isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe
. Nach obigem ist aber auch
, das heißt,
muss daher zu
isomorph sein.
Die affine Gruppe als Matrizengruppe
Die affinen Gruppen erweisen sich als Untergruppen von allgemeinen linearen Gruppen. Leicht rechnet man nach, dass
![{\displaystyle K^{n}\rtimes \mathrm {GL} _{n}(K)\rightarrow \mathrm {GL} _{n+1}(K),\quad (v,A)\mapsto {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}&v_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}&v_{n}\\0&\ldots &0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e599d62d805963706e200d894a41e069cc85b5)
ein injektiver Homomorphismus ist. Aus der Isomorphie
ergibt sich daher, dass
isomorph zur Gruppe der Matrizen
![{\displaystyle \{(c_{i,j})_{i,j=1,\ldots ,n}|c_{i,j}\in K,c_{n+1,1}=\ldots =c_{n+1,n}=0,c_{n+1,n+1}=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba7b8d16eb93188e459ceaebefadade4e669b37)
ist. Kurz:
ist eine Untergruppe von
.[5]
Weitere affine Gruppen
Die spezielle affine Gruppe
Auf den affinen Gruppen hat man die Determinantenabbildung
,
die ein Homomorphismus in die Einheitengruppe des Körpers ist. Alternativ kann man auch obige Einbettung
verwenden und die Determinantenabbildung auf
als Einschränkung der Determinantenabbildung auf
definieren.
Der Kern dieses Homomorphismus, das heißt die Menge aller Elemente mit Determinante 1, ist dann ein Normalteiler in
, den man in Analogie zur speziellen linearen Gruppe die spezielle affine Gruppe nennt und mit
bezeichnet.
In obigem Beispiel
ist offenbar
.
Allgemeiner kann man Urbilder beliebiger Untergruppen von
betrachten. In
hat man also den weiteren Normalteiler
, das ist die bereits oben erwähnte 10-elementige Untergruppe von
. In der Sprache der semidirekten Produkte ist das
, indem man
als Untergruppe
auffasst.
Die affine semilineare Gruppe
Die affinen Gruppen
entstehen aus der allgemeinen linearen Gruppe
durch Hinzunahme der Translationen. Diese Gruppen kann man durch Hinzunahme von Körperautomorphismen weiter vergrößern. Ist
ein Automorphismus auf
,
und
, so sei
,
wobei
durch komponentenweise Anwendung auf die Komponenten des Spaltenvektors
definiert ist. Derartige Abbildungen nennt man affin-semilinear, Kompositionen und Umkehrungen bijektiver affin-semilinearer Abbildungen sind wieder von dieser Art.
![{\displaystyle \mathrm {A\Gamma L} _{n}(K):=\{f_{A,v,\sigma };\,A\in \mathrm {GL} _{n}(K),v\in K^{n},\sigma \in \mathrm {Aut} (K)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1268de8a5d9970ac666e20f3589b6c479a4cafeb)
heißt affin semilineare Gruppe.
In den Fällen
oder
mit einer Primzahl
gibt es keine nicht-trivialen Körperautomorphismen und man erhält nichts Neues. Bei Körpern wie
hat man es mit echten Erweiterungen von
zu tun. Fasst man die affinen Abbildungen als strukturerhaltende Abbildungen affiner Räume auf, so ist
im Allgemeinen nicht die volle Automorphismengruppe der affinen Struktur, diese erhält man erst durch die im Allgemeinen größere affine semilineare Gruppe.[6]
Einzelnachweise
- ↑ J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, Kap. 2.8: Affine and Projective Groups
- ↑ M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, Seite 27
- ↑ R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, Seite 168
- ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel II, §6, Hilfssatz 6.2
- ↑ W. Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen, Teubner-Verlag 2011, ISBN 978-3-8348-1365-7, Lemma 5.3
- ↑ J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, Kap. 2.8: Affine and Projective Groups, Seite 54