Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder ${\displaystyle R}$-Algebra (wobei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle R}$-Modul und

${\displaystyle \,\cdot \,\colon A\times A\to A}$

eine zweistellige Verknüpfung auf ${\displaystyle A}$, genannt „Multiplikation“.

Das Paar ${\displaystyle (A,\cdot )}$ heißt „${\displaystyle R}$-Algebra“, wenn die Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente ${\displaystyle x,y,z\in A}$ und jedes Ringelement ${\displaystyle \lambda \in R}$ gilt:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,}$
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z,}$
• ${\displaystyle \lambda (x\cdot y)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y).}$

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Ein ${\displaystyle R}$-Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ von ${\displaystyle (A,\cdot )}$ nach ${\displaystyle (B,\cdot )}$ ist ein R-Modulhomomorphismus von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$, für den zusätzlich gilt, dass ${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$ ist.

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Unter einer ${\displaystyle R}$-Algebra versteht man einen Ring ${\displaystyle A}$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi :R\to A}$ derart, dass alle Elemente von ${\displaystyle \varphi (R)}$ mit den Elementen aus ${\displaystyle A}$ vertauschbar sind: ${\displaystyle \forall r\in R,a\in A:\varphi (r)a=a\varphi (r)}$

Eine Algebra ${\displaystyle (A,\varphi )}$ bezeichnet man in der Regel einfach mit ${\displaystyle A}$. Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ in der Notation. Hierbei wird dann ${\displaystyle r\cdot a}$ statt ${\displaystyle \varphi (r)a}$ geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch ${\displaystyle \varphi :R\to A}$, ${\displaystyle r\mapsto r\cdot 1_{A}}$ gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente ${\displaystyle r\in R}$ mit ihren Bildern ${\displaystyle r\cdot 1_{A}\in A}$ zu „identifizieren“.

• Jede so definierte ${\displaystyle R}$-Algebra kann als ${\displaystyle R}$-Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als ${\displaystyle \lambda a:=\alpha (\lambda )\cdot a}$ setzt. Dagegen lässt sich nicht jede ${\displaystyle R}$-Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
• Ferner kann jede so definierte ${\displaystyle R}$-Algebra auch als ${\displaystyle R}$-Bimodul aufgefasst werden vermöge ${\displaystyle r\cdot a\cdot r':=\alpha (r)\cdot a\cdot \alpha (r')}$.

• Eine ${\displaystyle R}$-Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als ${\displaystyle R}$-Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich“ für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
• Eine ${\displaystyle R}$-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt endlich erzeugt, wenn es für ein ${\displaystyle n\geq 0}$ einen surjektiven Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A}$ gibt.

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen ${\displaystyle R}$-Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ von ${\displaystyle (A,\alpha )}$ nach ${\displaystyle (B,\beta )}$ als einen Ringhomomorphismus von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$, für den zusätzlich gilt, dass ${\displaystyle \varphi \circ \alpha =\beta }$ ist.

• Jeder Ring ist eine ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen.
• Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
• Für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$, der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ eine endlich erzeugte, aber keine endliche ${\displaystyle R}$-Algebra.

• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X. 
• Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Westview Press, University of Oxford 1969, ISBN 978-0-201-40751-8. 
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 6. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-62615-3.