Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form
.
Eine
-Matrix
heißt antidiagonal, wenn für alle
mit
der
-Eintrag Null ist:
.
Beispiel
Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist
.
Eigenschaften
Die Determinante von
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810caccfd03923a8f01c70993dffe74b9d5342db)
ist
![{\displaystyle \det(A)=(-1)^{n \choose 2}q_{1}q_{2}\ldots q_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bb2addf6b32bf53862e96753c102ae4bead012)
Falls alle
von Null verschieden sind, dann ist
invertierbar und die zu
inverse Matrix ist
-
Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.
Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.