Ein Besov-Raum (nach Oleg Wladimirowitsch Bessow)
ist ein Funktionenraum. Er dient wie der ähnlich definierte Lizorkin-Triebel-Raum zur Definition verallgemeinerter Funktionenräume, indem er (in gewisser Weise) Glattheitseigenschaften der Funktionen misst. Anschaulich wird das Spektrogramm in exponentiell größer werdende Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird.
Vorbereitung
Es sei
, so existiert eine Zerlegung der Eins
über
mit den Eigenschaften
,
für alle
,
.
Sei
der Schwartz-Raum. Für
definieren wir
für alle
,
wobei
und
die Fourier-Transformation beziehungsweise deren Inverse bezeichne. Für Funktionen
aus dem Dualraum definieren wir
für alle
und für alle
.
Nach dem Satz von Paley-Wiener ist
eine
-Funktion, da ihre Fourier-Transformation einen kompakten Träger hat.
Definition
Sei
,
und
. Dann definieren wir
,
wobei
den Dualraum der Schwartz-Funktionen bezeichne und
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\Vert f\right\Vert _{B_{pq}^{s}(\mathbb {R} ^{n})}:&=\left\Vert \{2^{js}\left\Vert \varphi _{j}(D_{x})f\right\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\}_{j=1}^{\infty }\right\Vert _{l^{q}(\mathbb {N} )}\\&={\begin{cases}\left(\sum \limits _{j=1}^{\infty }\left(2^{js}\left\Vert \varphi _{j}(D_{x})f\right\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\right)^{q}\right)^{1/q}&{\text{falls }}q<\infty \\\sup \limits _{j\in \mathbb {N} }2^{js}\left\Vert \varphi _{j}(D_{x})f\right\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}&{\text{falls }}q=\infty .\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be38dff3c0423b84c1b18e07affc922d0ef56eb3)
Eigenschaften
Besov-Räume sind (im Allgemeinen nicht separable) Banachräume. Sei
, dann gilt
.
Damit sind die oben definierten Besov-Räume in der Tat eine Verallgemeinerung der klassischen Lebesgue-Räume und Sobolev-Räume. Ferner gilt für
.
Für
mit gilt die Äquivalenz
- Es gilt die Young'sche Bedingung
![{\displaystyle r+s>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79cd9a786a74a485efff60595d819546813b8ec)
- Die Multiplikationsabbildung
lässt sich eindeutig zu einer stetigen bilinearen Abbildung
fortsetzen.
Einbettungen
Sei
,
und
. Dann gilt
für
,
.
Für
,
gilt
für
,
für
.
Literatur
- Triebel, H. "Theory of Function Spaces II"; ISBN 978-0-8176-2639-6.
- Besov, O. V. "On a certain family of functional spaces. Embedding and extension theorems", Dokl. Akad. Nauk SSSR 126 (1959), 1163–1165.
- DeVore, R. und Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993; ISBN 978-3-540-50627-0.
- DeVore, R., Kyriazis, G. und Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273–292 (1998).
- Sawano, Yoshihiro. Theory of Besov Spaces. Deutschland: Springer Nature Singapore, 2018.