Bevan-Punkt

Bevan-Punkt M im Dreieck ABC
Bevan-Punkt M, Bevan-Kreis kM, Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt G, Umkreismittelpunkt O, Inkreismittelpunkt I, Euler-Gerade e, Umkreis kO

Der Bevan-Punkt gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Ankreismittelpunkte des gegebenen Dreiecks geht. Die Bezeichnung Bevan-Punkt bezieht sich auf ein Problem, das der englische Ingenieur Benjamin Bevan im Jahre 1806 stellte und noch im gleichen Jahr von John Butterworth gelöst wurde.

Eigenschaften

  • Die Verbindungsstrecken des Bevan-Punktes mit den Ankreismittelpunkten sind senkrecht zu den Seiten des gegebenen Dreiecks.
  • Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Inkreismittelpunkt des gegebenen Dreiecks wird durch den Umkreismittelpunkt des Dreiecks halbiert.
  • Der Bevan-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Longchamps-Punkt.
  • Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Höhenschnittpunkt wird durch den Spieker-Punkt halbiert.
  • Bevan-Punkt und Inkreismittelpunkt haben den gleichen Abstand d von der eulerschen Geraden, hierbei gilt d = R 2 − a b c a + b + c {\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-{\tfrac {abc}{a+b+c}}}}}
  • Die trilinearen Koordinaten betragen ( cos ⁡ β + cos ⁡ γ − cos ⁡ α − 1 ) : ( cos ⁡ γ + cos ⁡ α − cos ⁡ β − 1 ) : ( cos ⁡ α + cos ⁡ β − cos ⁡ γ − 1 ) {\displaystyle (\cos \beta +\cos \gamma -\cos \alpha -1):(\cos \gamma +\cos \alpha -\cos \beta -1):(\cos \alpha +\cos \beta -\cos \gamma -1)} .
  • Eric W. Weisstein. „Bevan Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  • Alexander Bogomolny. „Bevan's Point and Theorem.“