Die Carmichael-Funktion aus dem Bereich der Mathematik ist eine zahlentheoretische Funktion, die zu jeder natürlichen Zahl n das kleinste bestimmt, so dass:
für jedes gilt, das teilerfremd zu ist. In gruppentheoretischer Sprechweise ist der Gruppenexponent der (primen) Restklassengruppe .
Die Carmichael-Funktion geht auf den Mathematiker Robert Daniel Carmichael zurück. Sie ist die maximale Periodenlänge des Bruches in seinen -adischen Darstellungen und spielt bei Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen eine Rolle.
Inhaltsverzeichnis
1Berechnung
2Beispiel
3Die Carmichael-Funktion und die eulersche φ-Funktion
4Die Carmichael-Funktion und die Carmichael-Zahl
5Siehe auch
6Weblinks
Berechnung
Die Carmichael-Funktion lässt sich nach folgendem Schema berechnen:
Dabei stehen die für paarweise verschiedene Primzahlen und die für positive ganze Zahlen.
Die folgende Formel kommt zum selben Ergebnis:
Sei die Primfaktorzerlegung von (mit , falls gerade):
falls
falls
Dabei bezeichnet die Eulersche φ-Funktion. Für Potenzen ungerader Primzahlen gilt
Beispiel
gilt für alle , die teilerfremd zur Zahl 15 sind.
Die Carmichael-Funktion und die eulersche φ-Funktion
Für die Zahlen Eins, Zwei, Vier, für jede ungerade Primzahlpotenz und für alle Doppelten von ungeraden Primzahlpotenzen sind die Carmichael-Funktion und die Eulersche φ-Funktion identisch. Genau dann, wenn , existieren auch Primitivwurzeln modulo . Im Allgemeinen unterscheiden sich beide Funktionen; ist jedoch stets ein Teiler von .
Eulersche φ-Funktion:
Carmichael-Funktion:
Die ersten Werte von und bis in Gegenüberstellung – fett gedruckt, wenn verschieden.
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8
Die Carmichael-Funktion und die Carmichael-Zahl
Da die Carmichael-Funktion zu jeder natürlichen Zahl das kleinste bestimmt, so dass für jedes gilt, das teilerfremd zu ist, und für jede Carmichael-Zahl die Differenz durch teilbar ist, folgt aus:
auch
.
Für eine Carmichael-Zahl ist die Zahl
also ganz, und es gilt für alle zu teilerfremden
.
Siehe auch
Satz von Carmichael
Weblinks
Eric W. Weisstein: Carmichael Function. In: MathWorld (englisch).