Graph der Clausen-Funktion C l 2 ( θ ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )} (rot) und C l 4 ( θ ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{4}(\theta )} (grün) In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:
Cl 2 ( θ ) = − ∫ 0 θ log | 2 sin ( t / 2 ) | d t . {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t.}
Allgemeine Definition Allgemeiner definiert man für komplexe s {\displaystyle s} mit Re ( s ) > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} :
Cl s ( θ ) = ∑ n = 1 ∞ sin ( n θ ) n s = sin ( θ ) + sin ( 2 θ ) 2 s + sin ( 3 θ ) 3 s + sin ( 4 θ ) 4 s + ⋯ {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}=\sin(\theta )+{\frac {\sin(2\theta )}{2^{s}}}+{\frac {\sin(3\theta )}{3^{s}}}+{\frac {\sin(4\theta )}{4^{s}}}+\cdots } Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.
Verallgemeinerte Definition Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall [ 0 , 2 ⋅ π ] {\displaystyle [0,\,2\cdot \pi ]} . Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall [ 0 , 2 ⋅ π ] {\displaystyle [0,\,2\cdot \pi ]} . Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:
C l z ( θ ) = { S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ sin ( k ⋅ θ ) k z C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos ( k ⋅ θ ) k z {\displaystyle \operatorname {Cl_{z}} \left(\theta \right)={\begin{cases}\operatorname {S_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}\\\operatorname {C_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}\\\end{cases}}} [ 1]
Clausen-Funktionen der Form S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ sin ( k ⋅ θ ) k z {\displaystyle \operatorname {S_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}} sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher ) und C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos ( k ⋅ θ ) k z {\displaystyle \operatorname {C_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}} sind Standard-Clausen-Funktionen.
Beziehung zum Polylogarithmus Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:
Cl s ( θ ) = Im ( Li s ( e i θ ) ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{s}(e^{i\theta }))} .
Kummers Beziehung Ernst Kummer und Rogers führen folgende für 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } gültige Beziehung an:
Li 2 ( e i θ ) = ζ ( 2 ) − θ ( 2 π − θ ) / 4 + i Cl 2 ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}
Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen Für rationale Werte von θ / π {\displaystyle \theta /\pi } kann die Funktion sin ( n θ ) {\displaystyle \sin(n\theta )} als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann Cl s ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )} als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.
Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:
sin ( θ ) + 2 sin ( 2 θ ) + 3 sin ( 3 θ ) + … {\displaystyle \sin(\theta )+2\sin(2\theta )+3\sin(3\theta )+\dots } was mit Cl − 1 ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{-1}(\theta )} bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:
cos ( θ ) + cos ( 2 θ ) + cos ( 3 θ ) + ⋯ = − ∫ d θ Cl − 1 ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )+\cos(2\theta )+\cos(3\theta )+\dots =-\int d{\theta }\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )} Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen s {\displaystyle s} verallgemeinert werden.
Reihenentwicklung Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für | θ | < 2 π {\displaystyle |\theta |<2\pi } ) ist
Cl 2 ( θ ) θ = 1 − log | θ | + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n . {\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}} ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist
Cl 2 ( θ ) θ = 3 − log [ | θ | ( 1 − θ 2 4 π 2 ) ] − 2 π θ log ( 2 π + θ 2 π − θ ) + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) − 1 n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n . {\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}} Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass ζ ( n ) − 1 {\displaystyle \zeta (n)-1} für große n {\displaystyle n} schnell gegen 0 konvergiert.
Spezielle Werte
Allgemeine Spezielle Fälle Einige Spezialfälle sind gegeben durch:[ 2]
S 1 ( θ ) = 1 2 ⋅ π − 1 2 ⋅ θ S 3 ( θ ) = 1 6 ⋅ π 2 ⋅ θ − 1 4 ⋅ π ⋅ θ 2 + 1 12 ⋅ θ 3 S 5 ( θ ) = 1 90 ⋅ π 4 ⋅ θ − 1 36 ⋅ π 2 ⋅ θ 3 + 1 48 ⋅ π ⋅ θ 4 − 1 240 ⋅ θ 5 C 2 ( θ ) = 1 6 ⋅ π 2 ⋅ θ − 1 2 ⋅ π ⋅ θ + 1 4 ⋅ θ 2 C 4 ( θ ) = 1 90 ⋅ π 4 ⋅ θ − 1 12 ⋅ π 2 ⋅ θ 2 + 1 12 ⋅ π ⋅ θ 3 − 1 48 ⋅ θ 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {S_{1}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{2}}\cdot \pi -{\frac {1}{2}}\cdot \theta \\\operatorname {S_{3}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{6}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta -{\frac {1}{4}}\cdot \pi \cdot \theta ^{2}+{\frac {1}{12}}\cdot \theta ^{3}\\\operatorname {S_{5}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{90}}\cdot \pi ^{4}\cdot \theta -{\frac {1}{36}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{3}+{\frac {1}{48}}\cdot \pi \cdot \theta ^{4}-{\frac {1}{240}}\cdot \theta ^{5}\\\operatorname {C_{2}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{6}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta -{\frac {1}{2}}\cdot \pi \cdot \theta +{\frac {1}{4}}\cdot \theta ^{2}\\\operatorname {C_{4}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{90}}\cdot \pi ^{4}\cdot \theta -{\frac {1}{12}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{2}+{\frac {1}{12}}\cdot \pi \cdot \theta ^{3}-{\frac {1}{48}}\cdot \theta ^{4}\\\end{aligned}}}
(für 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\cdot \pi } )
Weitere Spezialfälle sind:
S n ( θ ) = i 2 ⋅ [ L i n ( exp ( − θ ⋅ i ) ) − L i n ( exp ( θ ⋅ i ) ) ] C n ( θ ) = 1 2 ⋅ [ L i n ( exp ( − θ ⋅ i ) ) + L i n ( exp ( θ ⋅ i ) ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {S_{n}} \left(\theta \right)&={\frac {i}{2}}\cdot \left[\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(-\theta \cdot i\right)\right)-\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(\theta \cdot i\right)\right)\right]\\\operatorname {C_{n}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{2}}\cdot \left[\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(-\theta \cdot i\right)\right)+\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(\theta \cdot i\right)\right)\right]\\\end{aligned}}}
wobei L i n {\displaystyle \operatorname {Li_{n}} } der Polylogarithmus ist,
T i 2 ( tan ( θ ) ) = θ ⋅ log ( tan ( θ ) ) + 1 2 ⋅ C l 2 ( 2 ⋅ θ ) + 1 2 ⋅ C l 2 ( π − 2 ⋅ θ ) {\displaystyle \operatorname {Ti_{2}} \left(\tan \left(\theta \right)\right)=\theta \cdot \log \left(\tan \left(\theta \right)\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {Cl_{2}} \left(2\cdot \theta \right)+{\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {Cl_{2}} \left(\pi -2\cdot \theta \right)}
für 0 ≤ tan ( θ ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \tan \left(\theta \right)\leq 1} wobei T i 2 {\displaystyle \operatorname {Ti_{2}} } das Arkustangensintegral ist,
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) + 2 π z log ( π sin π z ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) − 2 π log Γ ( z ) + 2 π z log ( π sin π z ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}
wobei G {\displaystyle G} Barnessche G-Funktion und Γ {\displaystyle \Gamma } die Gammafunktion ist,
Cl 2 ( θ ) = L s 2 0 ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )} [ 3] ,
wobei L s 2 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}s_{2}^{0}} der verallgemeinerte Logsinus L s n m ( θ ) = − ∫ 0 θ x m log n − m − 1 | 2 sin x 2 | d x {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}} ist
Cl s ( π 2 ) = β ( s ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)} wobei β ( s ) {\displaystyle \beta (s)} die dirichletsche Beta-Funktion ist.
Spezifische Fälle Einige spezielle Werte sind:
Cl 2 ( π 2 ) = K {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K} , Cl 2 ( π 3 ) = 3 π log ( G ( 2 3 ) G ( 1 3 ) ) − 3 π log Γ ( 1 3 ) + π log ( 2 π 3 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)} , Cl 2 ( 2 π 3 ) = 2 π log ( G ( 2 3 ) G ( 1 3 ) ) − 2 π log Γ ( 1 3 ) + 2 π 3 log ( 2 π 3 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)} , Cl 2 ( π 4 ) = 2 π log ( G ( 7 8 ) G ( 1 8 ) ) − 2 π log Γ ( 1 8 ) + π 4 log ( 2 π 2 − 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)} , Cl 2 ( 3 π 4 ) = 2 π log ( G ( 5 8 ) G ( 3 8 ) ) − 2 π log Γ ( 3 8 ) + 3 π 4 log ( 2 π 2 + 2 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)} , Cl 2 ( π 6 ) = 2 π log ( G ( 11 12 ) G ( 1 12 ) ) − 2 π log Γ ( 1 12 ) + π 6 log ( 2 π 2 3 − 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)} und Cl 2 ( 5 π 6 ) = 2 π log ( G ( 7 12 ) G ( 5 12 ) ) − 2 π log Γ ( 5 12 ) + 5 π 6 log ( 2 π 2 3 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)} wobei K die catalansche Konstante ist.
Literatur Leonard Lewin (Hrsg.): Structural Properties of Polylogarithms . American Mathematical Society, Providence (RI) 1991, ISBN 0-8218-4532-2 (englisch). Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational Strategies for the Riemann Zeta Function . In: J. Comp. App. Math . Band 121 , 2000, S. 11 (englisch, maths.ex.ac.uk [PDF; 526 kB ]).
Einzelnachweise ↑ Eric W. Weisstein: Clausen Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein: Clausen Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein: Log Sine Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (englisch).