Damköhler-Zahl

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Die Damköhler-Zahlen (${\displaystyle Da}$) (entwickelt von Gerhard Damköhler, 1908–1944) sind dimensionslose Kennzahlen der chemischen Reaktionstechnik. Bekannt sind vier verschiedene Damköhler-Zahlen (${\displaystyle Da_{I}}$, ${\displaystyle Da_{II}}$, ${\displaystyle Da_{III}}$, ${\displaystyle Da_{IV}}$), die als Damköhler-Zahl n-ter Ordnung bekannt sind, sowie eine turbulente Damköhler-Zahl (${\displaystyle Da_{t}}$).

Die Damköhler-Zahl erster Ordnung ${\displaystyle Da_{I}}$ beschreibt das Verhältnis der Geschwindigkeitskonstanten der Reaktion zur Geschwindigkeitskonstanten des konvektiven Stofftransports:

${\displaystyle Da_{I}={\frac {k_{\text{reakt}}}{k_{\text{konvekt}}}}=k\cdot \tau \cdot c_{0}^{n-1}={\frac {k\cdot L\cdot c_{0}^{n-1}}{w}}}$,

mit

• ${\displaystyle k}$ = Geschwindigkeitskonstante
• ${\displaystyle \tau }$ = Verweilzeit bzw. Reaktionszeit
• ${\displaystyle c_{0}}$ = Anfangskonzentration
• ${\displaystyle n}$ = Reaktionsordnung
• ${\displaystyle L}$ = charakteristische Länge
• ${\displaystyle w}$ = Strömungsgeschwindigkeit.

Für die Beschreibung diskontinuierlicher Reaktoren ersetzt man die Verweilzeit ${\displaystyle \tau }$ durch die Reaktionszeit ${\displaystyle t_{r}}$. Somit erhält man in deutlich übersichtlicherer Darstellung die dimensionslose Massenbilanz des idealen Rührkesselreaktors.

Die Damköhler-Zahl zweiter Ordnung ${\displaystyle Da_{II}}$ findet sich bei der Beschreibung innerer Stofftransportvorgänge (Porendiffusion) an Grenzflächen, z. B. an Katalysatorkugeln. Sie ist definiert als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zur Diffusionsgeschwindigkeit:

${\displaystyle Da_{II}={\frac {k\cdot L^{2}\cdot c^{n-1}}{D}}={\frac {k\cdot c^{n-1}}{k_{L}\cdot a}}}$

mit

• ${\displaystyle k_{L}}$ = volumenbezogener Stoffübergangskoeffizient
• a = spezifische Austauschfläche.

${\displaystyle Da_{II}}$ kann als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zu Oberflächenbedingungen zu der Diffusionsgeschwindigkeit durch die äußere Oberfläche des Katalysatorpellets gesehen werden.

Die Damköhler-Zahl dritter Ordnung ${\displaystyle Da_{III}}$ und die Damköhler-Zahl vierter Ordnung ${\displaystyle Da_{IV}}$ werden zur Abschätzung von Betriebsbedingungen bei polytroper Betriebsweise von Reaktoren verwendet.

Die turbulente Damköhler-Zahl ${\displaystyle Da_{t}}$ (in der Verbrennungsforschung meist nur als ${\displaystyle Da}$ bezeichnet) beschreibt das Verhältnis zwischen der makroskopischen Zeitskala einer turbulenten Strömung ${\displaystyle \tau _{0}}$ und der Zeitskala einer chemischen Reaktion ${\displaystyle \tau _{R}}$:

${\displaystyle Da_{t}:={\frac {\tau _{0}}{\tau _{\text{R}}}}\approx {\frac {l_{0}\,v_{\text{R}}}{v'\,l_{\text{R}}}}}$

${\displaystyle l}$ steht hierbei für die jeweilige Längenskala, wobei als makroskopische Längenskala meist eine integrale Längenskala gewählt wird.^[1] Diese dient als Maß für den Durchmesser der energiereichsten (und damit auch in der Regel der größten) Wirbel in der Strömung. Deren Umlaufgeschwindigkeit ist etwa gleich der Standardabweichung ${\displaystyle v'}$ der Strömungsgeschwindigkeit. Als charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\text{R}}}$ für die chemischen Reaktionen dient in der Verbrennungsforschung meist die laminare Flammengeschwindigkeit ${\displaystyle s_{\text{L}}}$, also die Geschwindigkeit, mit der die Flammenfront im laminaren Fall propagiert: ${\displaystyle v_{\text{R}}=s_{\text{L}}}$ Analog dazu ist es in Bezug auf Verbrennungsprozesse üblich, die Dicke der laminaren Flammenfront ${\displaystyle l_{\text{L}}}$ als Reaktionslängenskala einzusetzen: ${\displaystyle l_{\text{R}}=l_{\text{L}}}$ ^[2]

Anhand der turbulenten Damköhler-Zahl lassen sich Aussagen über die räumliche Struktur und das zeitliche Verhalten des Reaktionsgebiets in einer turbulenten reagierenden Strömung treffen.^[3]

• Karlovitz-Zahl

1. ↑ Stephen B. Pope: Turbulent Flows. Cambridge University Press, 2010, S. 197. 
2. ↑ Jürgen Warnatz, Ulrich Maas, Robert W. Dibble: Verbrennung: Physikalisch-Chemische Grundlagen, Modellierung und Simulation, Experimente, Schadstoffentstehung (3. Auflage). Springer, 2001, S. 221–224. 
3. ↑ Norbert Peters: Turbulent Combustion. Cambridge University Press, 2000, S. 78.