Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.
Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.
Definition
Sei
ein Vektorraum über einem Körper
und
ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung
. Der Eigenraum
zum Eigenwert
von
ist dann
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93120bbe3564dcc03b02f0253bdf591eccab8d55)
Dabei bezeichnet
die Identitätsabbildung auf
.
Man sagt dann auch,
ist invariant bezüglich des Endomorphismus
oder
ist ein
-invarianter Untervektorraum von
. Die Elemente
von
sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert
von
, sowie der Nullvektor.
Geometrische Vielfachheit
Die Dimension des Eigenraums
wird als geometrische Vielfachheit von
bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von
. Wenn die Dimension des Eigenraums
größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.
Eigenschaften
- Existiert ein Eigenwert
von
, so ist der zugehörige Eigenraum
gleich dem Kern von
. Denn
und nach Definition des Eigenraumes:
.
- Die Summe von Eigenräumen zu
paarweise verschiedenen Eigenwerten
von
ist direkt:
![{\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e599c0a523da1d7cb2d1a10946b8b72f72325)
- Gilt im obigen Fall
, so besitzt
eine Basis aus Eigenvektoren von
. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix
von
bezüglich einer Basis von
diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix
von
bezüglich einer Basis von
aus Eigenvektoren von
hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von
stehen dann die Eigenwerte von
:
![{\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ce581f5e2e963e65103d7379501f5fd8e470b8)
- Ist
ein Prähilbertraum und
selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).