Dieser Artikel behandelt die ganzen Zahlen des Euler-Dreiecks.
Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).
Zum Eulerschen Dreieck in der Kugelgeometrie siehe Kugeldreieck.
Die nach Leonhard Euler benannte Euler-ZahlAn,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als oder , ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von , in denen genau Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl die Anzahl der Permutationen von mit genau maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: .
Inhaltsverzeichnis
1Euler-Dreieck
2Eigenschaften
3Euler-Polynome
4Literatur
5Weblinks
6Einzelnachweise
Euler-Dreieck
Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile , erste Spalte ; Folge A008292 in OEIS):
Es gilt die Worpitzky-Identität (Worpitzky 1883)[1]
für , wobei eine Variable und ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.
Eine erzeugende Funktion für ist
Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen wird durch die alternierende Summe
für hergestellt.
Euler-Polynome
Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen[2]
Das Euler-Polynom ist definiert durch
also
Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel
und die erzeugende Funktion
Die Euler-Polynome kommen im Zähler der geschlossenen Darstellung gewisser Potenzreihen vor:
für und .
Spezialfälle:
(geometrische Reihe),
,
usw.
Literatur
L. Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (1749), Mémoires de l’académie royale des sciences et belles-lettres 17, 1768, S. 83–106 (französisch; Euler-Zahlen als Koeffizienten auf S. 85)
David P. Roselle: Permutations by number of rises and successions, Proceedings of the AMS 19, 1968, S. 8–16 (englisch)
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete mathematics: a foundation for computer science, Addison-Wesley, Reading 1988, 2. Auflage 1994, ISBN 0-201-55802-5, S. 267–272 (englisch; Knuths Webseite zum Buch mit Errata: Concrete Mathematics, Second Edition)
Kenneth H. Rosen, John G. Michaels et al. (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press LLC, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 (englisch)