Der Begriff der exakten Sequenz oder exakten Folge spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.
Definition
Eine Sequenz
![{\displaystyle A'\longrightarrow A\longrightarrow A''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7670b2bca2b82444405d0eef74837baf716cd0)
von Objekten und Morphismen in einer geeigneten Kategorie heißt exakt an der Stelle
, wenn
![{\displaystyle \mathrm {im} (A'\to A)=\ker(A\to A'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a1e96a7beba3806ea696138377da0b5555e0ae)
gilt, d. h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Sequenz
![{\displaystyle A_{1}\longrightarrow A_{2}\longrightarrow A_{3}\longrightarrow A_{4}\longrightarrow A_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c0d6ab5b76cffdaafdac5dd39586dc24f80c5)
heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen
,
und
ist (analog für kürzere oder längere Sequenzen).
Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann, wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann. Dies ist der Fall für alle abelschen Kategorien, aber auch beispielsweise für die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
Beispiele
- Ist
ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen, dann ist
und
. Die Folge
ist daher exakt an der Stelle
, wenn
ist. - Eine Sequenz
ist genau dann exakt, wenn
ein Monomorphismus, d. h. injektiv ist. Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:![{\displaystyle A'\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc935101a0c878f442b5231e66befced4a0f16b5)
- Eine Sequenz
ist genau dann exakt, wenn
ein Epimorphismus, d. h. surjektiv ist. Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden: ![{\displaystyle A\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;A''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da04c3c5667e01cd73186fb4486f5567907d76f)
- Für jeden Homomorphismus
von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) existiert eine exakte Sequenz, wie folgt:
![{\displaystyle 0\longrightarrow \ker f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow \mathrm {coker} \,f\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56f6d539520b9aea4edc0620ecfebae9ff5111a)
- In Grp ist die Sequenz jedoch bei
nur exakt, wenn das Bild von
ein Normalteiler in
ist. Auch in additiven, aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben. Dabei bezeichnet
den Kokern von
.
- Für eine Gruppe
seien
das Zentrum,
die Gruppe der Automorphismen,
die Gruppe der inneren Automorphismen und
die Gruppe der äußeren Automorphismen
- von
. Dann ist die Sequenz ![{\displaystyle 1\longrightarrow Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow \mathrm {Aut} \,G\longrightarrow \mathrm {Out} \,G\longrightarrow 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cc6a0646c62be5e0b55a69119869b163a8bd18)
- exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
![{\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})\in \mathrm {Inn} \,G\subseteq \mathrm {Aut} \,G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2355694b1a6562a5390e2c49b99ae0721c569e4)
- gegeben.
Kurze exakte Sequenzen
Definition
Eine exakte Sequenz der Form
![{\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49adfb737de3880efe814fe7dbde09d5dd1362f6)
heißt kurze exakte Sequenz.
Zerfallende kurze exakte Sequenzen
Eine kurze exakte Sequenz zerfällt, wenn
einen Schnitt hat. Vereinzelt wird anstatt zerfällt auch die Bezeichnung spaltet auf benutzt, die auf eine nicht ganz korrekte Übersetzung des englischen Begriffs split zurückzuführen ist.
In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch, dass
eine Retraktion hat, dass die entstehende Sequenz
![{\displaystyle 0\longleftarrow A'\longleftarrow A\longleftarrow A''\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5576dab0fd5d137b508d3164b723d36d8da7fc2a)
ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen isomorph zu
![{\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f51c7adea372e2e075718e8369f6f89a4e0a8e)
bzw.
![{\displaystyle 0\longleftarrow A'\longleftarrow A'\oplus A''\longleftarrow A''\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3da029b6003e17c1105d39ff8039b8fe97b07f)
sind.
Zerfällt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen, ergibt sich daraus lediglich eine Operation von
auf
, und dass
semidirektes Produkt von
und
bezüglich dieser Operation ist. Beispielsweise ist die zyklische Gruppe
Untergruppe der symmetrischen Gruppe
, woraus sich die kurze exakte Sequenz
![{\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2dd261158d1e6156d18d044ffa7b8c14890104)
ergibt; indem man das nicht-neutrale Element der
auf ein Element der Ordnung 2 in
abbildet, erhält man eine Spaltung.
Aufteilung einer langen exakten Sequenz
Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist
![{\displaystyle A_{1}\longrightarrow A_{2}\longrightarrow A_{3}\longrightarrow A_{4}\longrightarrow A_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c0d6ab5b76cffdaafdac5dd39586dc24f80c5)
eine exakte Sequenz, so sei
![{\displaystyle Z_{n}:=\ker(A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {coker} (A_{n-2}\to A_{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41fe27c4580301872af200973537bd362871097)
Dann gibt es kurze exakte Sequenzen
![{\displaystyle 0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cda01062c45ae67a3790d76a913a9c6195cffcb)
Ist
ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz äquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz.
Erweiterungen
Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz
![{\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49adfb737de3880efe814fe7dbde09d5dd1362f6)
sagt man auch, dass
eine Erweiterung von
durch
ist.
Ist zum Beispiel
ein Normalteiler in der Gruppe
und
die Faktorgruppe, so erhält man eine kurze, exakte Sequenz
,
wobei der zweite Pfeil die Einbettung von
in
und der dritte die Quotientenabbildung ist. Damit ist
eine Erweiterung von
und
und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller möglichen Erweiterungen von
und
stellen. Entsprechende Fragestellungen erhält man etwa in der Kategorie der Ringe oder Moduln über einem festen Ring. Dies führt zu mathematischen Begriffen wie Ext oder Gruppenkohomologie.
Siehe auch
Literatur
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-76437-3, S. 77–79.