Fukaya-Kategorie

In der Mathematik ist die Fukaya-Kategorie einer symplektischen Mannigfaltigkeit eine ${\displaystyle A_{\infty }}$-Kategorie, die in der (von Kontsevich vermuteten) homologischen Spiegelsymmetrie verwendet wird. Sie ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Kenji Fukaya.

Die Objekte der Fukaya-Kategorie sind die Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten ${\displaystyle L}$ der symplektischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, die Morphismen ${\displaystyle Hom(L_{0},L_{1})=CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ sind (im Fall transversaler Schnitte) die Schnittpunkte ${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$. Man hat weitere Abbildungen

${\displaystyle m_{d}\colon CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes \ldots CF_{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d})}$,

die die Axiome einer ${\displaystyle A_{\infty }}$-Kategorie erfüllen. Insbesondere ist ${\displaystyle m_{1}}$ das Differential der Lagrangeschen Floer-Homologie und ${\displaystyle m_{2}}$ das Cup-Produkt. Definiert wird ${\displaystyle m_{d}}$ durch das Zählen von pseudoholomorphen Polygonen mit je ${\displaystyle d+1}$ in ${\displaystyle L_{0},\ldots ,L_{d}}$ abzubildenden Kanten.

• K. Fukaya: Morse homotopy, ${\displaystyle A_{\infty }}$ category and Floer homologies, MSRI preprint No. 020-94 (1993)
• M. Kontsevich: Homological algebra of mirror symmetry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), 120–139, Birkhäuser, Basel, 1995

• Fukaya category (nLab)
• D. Auroux: A beginners introduction to Fukaya categories