Fundamentalgruppoid

In der Mathematik, speziell der algebraischen Topologie, soll das Fundamentalgruppoid ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ die Menge der Wegzusammenhangskomponenten ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ und die Fundamentalgruppen ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ (zu allen ${\displaystyle x\in X}$) in einem einzigen algebraischen Objekt zusammenfassen.

Das Fundamentalgruppoid ist ein Gruppoid, also eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Die Objekte sind die Punkte von ${\displaystyle X}$, die Morphismen von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ sind die Homotopieklassen (relativ ${\displaystyle \partial \left[0,1\right]}$) von stetigen Wegen ${\displaystyle p\colon \left[0,1\right]\to X}$ mit ${\displaystyle p(0)=x,p(1)=y}$.^[1]

In diesem Gruppoid entspricht ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ der Menge der Isomorphismusklassen von Objekten, während ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ der Automorphismengruppe des Objekts ${\displaystyle x}$ entspricht.

• Fundamental Groupoid (nLab)

1. ↑ Edwin Henry Spanier: Algebraic topology. 1st corr. Springer ed Auflage. Springer-Verlag, New York 1966, ISBN 0-387-90646-0, S. 45.