Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive bzw. negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend.
Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der führenden Hauptminoren, wobei gilt, dass man lediglich die k führenden Hauptminoren untersucht, für die gilt:
(m Anzahl der Nebenbedingungen). Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man
betrachten, also erst die Vorzeichen ab dem 3. führenden Hauptminor (siehe auch nachfolgendes Beispiel).
Sei
offen. Die Funktion
sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in
ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung
, wobei
mit
. Sei nun
![{\displaystyle L(\lambda _{1},\ldots ,\,\lambda _{m},\,x):=f(x)-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}F_{i}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d823f52b254585b6b73de0f3d01782e4a6d30851)
die Lagrange-Funktion mit der Abkürzung
für
. Dann versteht man unter der geränderten Hesseschen Matrix die
-Matrix
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} ({\bar {\lambda }},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)({\bar {\lambda }},\,a)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a8be08f8f0f723137affe8d3ec6caa7053ca28)
bzw. bereits vereinfacht
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} ({\bar {\lambda }},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)({\bar {\lambda }},\,a)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16dbac235426227bc3b842e9175470637a4830c)
mit
den zugehörigen Lösungen der Hilfsgrößen.
Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.
Sei
die Lagrangefunktion, wobei
eine beliebige zweidimensionale Funktion und
die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.
![{\displaystyle \operatorname {\bar {H}} (x)={\begin{pmatrix}0&g_{x1}&g_{x2}\\g_{x1}&L_{x1x1}&L_{x1x2}\\g_{x2}&L_{x2x1}&L_{x2x2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1874c69490ed8fd9584e41335193a0c2ecddf6b)
Die
auf der Position oben links in der Matrix kommt durch
zustande.
Eine stationäre Stelle
von
ist dann unter der Nebenbedingung
- lokales Maximum, wenn
![{\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6290ed9d79ba4a23c596dafa124ea30536f5274)
- lokales Minimum, wenn
![{\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412ffc835d9eb0ced7befcd9029a735bc0ad1352)
- unentscheidbar, wenn
![{\displaystyle \det {\bar {H}}(x_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd81d8043cce7a19654606e3fd931679a073a6)
Weblinks
- Geränderte Hesse-Matrix. Wirtschaftsuniversität Wien.
- Robert Koschig: Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren.